¿Por qué es de fiar para evaluar $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$ por la cancelación de los factores comunes?

Question

Nunca he tomado un curso de análisis, así que tal vez es donde realmente se aprende esto, pero siempre me he preguntado por qué es correcto hacer esto cuando la evaluación de un límite. Supongo que es el caso que hay un teorema que dice que el límite de una función racional como $x\rightarrow a$ es igual al límite de la función en términos mínimos como $x\rightarrow a$, independientemente de la división por cero. Hay un nombre para ese teorema? O se desprende de algunas otras propiedades de los límites o las funciones racionales?

Answer 1

La cosa importante a recordar sobre el proceso de límite en algo como esto es que cada vez que evaluamos algo como $\lim_{x\rightarrow 1} f(x)$, no se requiere la función de $f(x)$ a definirse en $x=1$, así que nos fijamos en los valores de $f(x)$ $x$ enfoques de la 1, pero tomando los valores que no son iguales a 1.

En tu ejemplo, significa que como $x$ enfoques 1 sin igual a 1, el factor puede ser cancelado, porque definitivamente no es cero.

Yo no conozco a ningún resultado general, sin embargo, y siempre han hecho cosas como esta por el examen de los méritos de cada caso, preguntando si podemos estar seguros de que la cancelación es admisible en un caso particular.

Answer 2

El límite es de dejar a $x$ "enfoque" el valor de $1$, no estableciendo $x=1$.

Por esta razón se le permite cancelar ya que el denominador nunca se $0$ para estos valores de $x$.

Answer 3

Usted debe entender que hay una diferencia entre el$x=a$$x \rightarrow a$. Para $x \rightarrow a$, x se aproxima a una, pero nunca llega exactamente a, entonces (x-a) es siempre distinto de cero para $lim$ $x \rightarrow a$, y por lo tanto usted puede cancelar los dos mismos no cantidades cero en el numerador y el denominador.

Answer 4

Uno relativamente sutil razón por la que esto es cierto para funciones racionales es que las funciones polinómicas (así, en particular, el denominador de la función racional) tienen lo que se conoce como aislado ceros: dado un polinomio tiene sólo un número finito de ceros (esta es una forma de Teorema Fundamental del Álgebra), no hay dos ceros puede ser demasiado cerca el uno del otro. En particular, alrededor de cada cero hay un disco de radio finito en el que ningún otro ceros puede ocurrir. Esto significa que una función racional es bien definido en un barrio de cada uno de los ceros de su denominador.

Para un ejemplo de lo que puede salir mal cuando se aleja de las funciones racionales, en lugar de considerar la función de $\displaystyle f(x) =\frac{x\sin(\frac{1}{x})}{\sin(\frac{1}{x})}$: a continuación, puedes ver por qué la $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} f(x)$ es indefinido?

Answer 5

Su expresión $f(x)$ no está definida en $x=1$, por lo que el límite representa el valor de $f(x_n)$ para cada secuencia $x_n\rightarrow1$ con la propiedad de que $x_n \neq 1$ todos los $n$. Pero cuando $x_n \neq 1$ supuesto, usted puede cancelar los dos términos, ya que no son cero.