Subgrupos de$G^n$, donde$G$ es un grupo$p$

Question

Deje $G$ ser finito $p$-grupo y que $n > 0$. Deje $G^n$ ser el producto directo de $n$ copias de $G$.

Son todos los subgrupos de $G^n$ isomorfo a $H_1 \times \dotsm \times H_n$ para algunos subgrupos $H_1, \dots, H_n$ de $G$?

Comentarios. La pregunta es isomorfo a un producto directo de los subgrupos, y no ser igual a un producto directo de los subgrupos. Una respuesta negativa a una pregunta similar para $G = S_3$ e $n = 2$ fue dado aquí. Esta pregunta y su respuesta, que se basa en Goursat del lema también puede ser relevante.

P. S. estoy especialmente interesado en el caso de $p = 2$.

Answer 1

Deje $G=D_8 = \langle a,b \mid a^4=b^2=(ab)^2=1 \rangle$, $G^2 = \langle a_1,b_1\rangle \times \langle a_2,b_2 \rangle$ e $H = \langle a_1a_2,b_1,b_2,a_1^2,a_2^2 \rangle \le G$ con $|H|=32$.

Si $H \cong H_1 \times H_2$, con $H_1$ e $H_2$ isomorfo a los subgrupos de $D_8$, entonces tenemos que tener en $|H_1|=8$, $|H_2|=4$ (o viceversa), por lo $H_2$ es abelian, y, por tanto, $|Z(H_1 \times H_2)| =8$. Pero se puede comprobar que $Z(H)=Z(G) = \langle a_1^2,a_2^2 \rangle$ tiene orden de $4$.

De hecho, $H$ es indecomposable.