Maximizar una suma no ponderada dada una suma ponderada

Question

Mi problema se reduce a la siguiente:

Dado los números reales $c_i \geq 0$

$$\begin{array}{ll} \text{maximize} & f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\\ \text{subject to} & c_1x_1+c_2x_2+\cdots +c_nx_n = C\\ & x_i \geq 0\end{array}$$

Además, es conocido que e $f$ es cóncava, estrictamente creciente y acotada.

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Sé que si nosotros en lugar de maximizar $c_1f(x_1)+c_2f(x_2)+\ldots+c_2f(x_n)$, entonces podemos aplicar la desigualdad de Jensen y obligado nuestros suma de la anterior por una constante y, a continuación, aplicar el criterio de igualdad

$$\frac{c_1f(x_1)+c_2f(x_2)+\ldots+c_2f(x_n)}{c_1+c_2+\ldots+c_n}\leq f\left(\frac{c_1x_1+c_2x_2+\ldots +c_nx_n}{c_1+c_2+\ldots+c_n}\right) = f\left(\frac{C}{c_1+c_2+\ldots+c_n}\right)$$

con la igualdad iff

$$x_1 = x_2 = \ldots = x_n = \frac{C}{c_1+c_2+\ldots+c_n}$$

Hay una manera de salvar esta solución para la ponderado caso dado ponderado de las restricciones?

Answer 1

Creo que usted está preguntando si usted puede conseguir una solución "fácil" que mantiene independiente de la estructura particular de la $f$, es decir, una solución que sólo depende de $C,c_1,...,c_n$.

No en general. Para ver por qué, usted puede hacer un ejemplo: Fix $C>0$. Fix $\epsilon>0$ y asumen $c_i\geq \epsilon$ para todos los $i$. Entonces cualquier $(x_1, ..., x_n)$ que satisface las restricciones que debe tener $x_i\leq C/\epsilon$ para todos los $i \in \{1, ..., n\}$. Fix $\alpha \in (0,1)$ y definir $$f(x) =\left\{ \begin{array}{ll} x^{\alpha} &\mbox{ if %#%#%} \\ (C/\epsilon)^{\alpha} & \mbox{ if %#%#%} \end{array} \right.$$

Por una simple multiplicador de Lagrange argumento se puede demostrar que la solución a la maximización de la $0\leq x \leq C/\epsilon$ sujeto a $x>C/\epsilon$ e $\sum_{i=1}^n f(x_i)$ para todos los $\sum_{i=1}^n c_i x_i\leq C$ es: $x_i\geq 0$$ Esta solución requiere el conocimiento de $i$.

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Por otro lado, el problema puede ser fácilmente resuelto por un multiplicador de Lagrange argumento: Maximizar $$x^*_i = \frac{Cc_i^{-1/(1-\alpha)}}{\sum_{j=1}^n c_j^{-\alpha/(1-\alpha)}} \quad \forall i \in \{1, ..., n\}$$ más de $\alpha$ para todos los $$\sum_{i=1}^n f(x_i) -\lambda \left(\sum_{i=1}^n c_i x_i - C\right)$. A continuación, elija $x_i\geq 0$ a hacer la restricción $i \in \{1, ..., n\}$ espera.