Ejemplos de acciones grupales adecuadas.

Question

Últimamente me he encontrado la definición de grupo apropiado:

Un $G$-acción en $X$ se llama adecuada si la función de $f:(g,x)\mapsto (g\cdot x, x)$ es adecuada, es decir, para cualquier conjunto compacto $U\subset X\times X$, la preimagen $f^{-1}(U)$ es compacto.

Pero no tengo ni idea de cómo comprobar esto en ejemplos concretos.

Por ejemplo, considere la posibilidad de $\mathbb Z \times \mathbb R \to \mathbb R$, $(n,x)\mapsto x+n$.

Es claro que para cualquier $n\in \mathbb Z$, $n^{-1}\cdot[0,1]=[-1,1]$ y por lo $$f^{-1}([0,1]) = \bigcup_{n\in \mathbb Z} \{n\}\times [-n,-n+1],$$ pero esto es todavía un infinito de la unión de conjuntos compactos. También, incluso si me muestra esto, realmente no me ayuda. No es como en el caso de la continuidad que es suficiente con considerar las bolas.

Otro ejemplo que debe ser fácil de comprobar es la acción de $GL(V)$ sobre el espacio vectorial $V$, (para symplicity $V = \mathbb R^2$).

Así que aquí está mi pregunta: ¿Podría proporcionarme algunos ejemplos de correcta discontinuo acciones del grupo y lo más importante cómo comprobar esta propiedad?

Edit: La primera respuesta se basa en el Poliedro de Poincaré Teorema que parece muy útil. Sin embargo, también me gustaría ver un enfoque más directo worling con las definiciones.

Answer 1

En el caso de los grupos discretos que actúan en los espacios de $\mathbb R^n$, $\mathbb H^n$o $\mathbb S^n$ (Euclidiana espacios, hiperbólico espacios y esferas), la de Poincaré poliedro teorema es una muy buena herramienta para verificar propio.

Hay muchas características de la Poincaré Poliedro Teorema que no puedo entrar aquí, y para la declaración general de que es probablemente la mejor manera de ir y leer sobre ella. Ratcliffe del "Fundamentos de la hiperbólico colectores" tiene la instrucción.

Lo que voy a hacer es sólo para dar un par de ejemplos sencillos.

Primer ejemplo: Comenzar con el cuadrado de $Q = [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb R^2$. Considere los dos isometrías $f,g : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ dado por $f(x,y)=(x+1,y)$ e $g(x,y)=(x,y+1)$.

Los dos isometrías $f$ e $g$ formar un conjunto de "lado de emparejamiento de isometrías de la plaza de la $Q$:

• La isometría $f$ "pares" de los lados izquierdo y derecho de la $Q$, lo que significa que $Q \cap f(Q)$ es igual para el lado derecho y $f^{-1}(Q) \cap Q$ es igual a la del lado izquierdo.
• Del mismo modo, $g$ "pares" de la parte inferior y la parte superior de los lados.

El próximo aviso de que en cada una de las cuatro esquinas de $Q$ se verifica una "esquina" ciclo de la condición. Por ejemplo, la esquina del ciclo de condición en la esquina $(0,0)$ va como esto:

• $f^{-1}(Q)$ es el cuadrado de $Q' = [-1,0] \times [0,1]$,
• $g^{-1} (Q')$ es el cuadrado de $Q''=[-1,0] \times [-1,0]$,
• $f(Q'')$ es el cuadrado de $Q''' = [0,1] \times [-1,0]$,
• $g(Q''')$ es $Q$ sí.

Uno puede visualizar las plazas $Q$, $Q'$, $Q''$, e $Q'''$ como la formación de un ciclo de plazas en el vértice $(0,0)$, que no se superponen con excepción de dos cuadrados consecutivos en este ciclo se cruzan a lo largo de una arista común, y dos no consecutivos plazas se cruzan en $(0,0)$.

Desde esa esquina ciclo, se obtiene un relator en el grupo generado por $f$ e $g$, es decir, $g f g^{-1} f^{-1}$ es igual a la identidad de la isometría.

El Poliedro de Poincaré Teorema dice que si tienes un poliedro y un conjunto de secundarios de emparejamiento de isometrías que satisfacen la esquina apropiada condiciones de ciclo, entonces el grupo generado por los isometrías actúa correctamente, con respecto a la topología discreta en ese grupo.

Hay otras conclusiones que se pueden hacer así. En primer lugar, la esquina de los ciclos de dar la definición de relatores, y así con los generadores, usted termina con una presentación para el grupo. También (con algunas nuevas hipótesis en el caso de $\mathbb H^2$) dado el poliedro es fundamental el dominio de la acción.

En el ejemplo que he descrito, los generadores $f$ e $g$, y cada relator es un conmutador como el $g f g^{-1} f^{-1}$ se muestra, y por lo que el grupo es isomorfo a $\mathbb Z^2$.

Segundo ejemplo: En su $1$-dimensional ejemplo, el poliedro es $[0,1]$ e $g(x)=x+1$ es un conjunto de secundarios de emparejamiento de isometrías de por sí. No hay esquinas en la dimensión $0$, y por tanto, no relatores. El grupo generado por $g$ es, por tanto, infinito cíclico, y actúa correctamente en $\mathbb R$.

Tercer ejemplo: he Aquí una breve dimensional más alto ejemplo. Comience con el cubo de $C = [0,1] \times [0,1] \times [0,1]$.

El cubo tiene seis caras --- es decir, seis codimension 1 caras. Lo voy a tomar para el lado de emparejamiento de isometrías son tres traducciones que par de lados opuestos del cubo. Este exhibe que la dimensión de $n$, el concepto general de "lado de emparejamiento de isometrías" está formulado con codimension-1 caras del poliedro.

El cubo tiene ocho cantos --- es decir, ocho codimension 1 caras. Hay una "esquina" ciclo de la condición de asociado a cada uno de estos ocho bordes, y en este caso todos ellos tienen la forma de un conmutador de dos de los tres lados de emparejamiento de isometrías. Este exhibe que la dimensión de $n$, el concepto general de "la esquina de los ciclos" está formulado con codimension-2 caras del poliedro.

El grupo generado por los tres lados de emparejamientos es $\mathbb Z^3$ y actúa correctamente en $\mathbb R^3$.