¿Es el cociente de una acción de grupo holomorfa una variedad compleja?

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad compleja en la que el grupo $G$ actúa de forma correcta y holomorfa. Es $M/G$ entonces un colector complejo?

Mi intento:

Necesitamos gráficos para $M/G$ . Para cualquier $m \in M$ tomamos $U\subset M$ lo suficientemente pequeño como para que la restricción del mapa cociente $q$ es un homeomorfismo. ( ¿Es esto posible debido a la discontinuidad adecuada? ) Tenemos un gráfico $\phi_U: U \to \mathbb C^n$ . Como $q|_U$ es un homeomorfismo, esto nos da un gráfico $\phi_U \circ (q|_U)^{-1}: q(U)\to \mathbb C^n$ .

Tenemos que comprobar que las funciones $[\phi_V \circ (q|_V)^{-1}] \circ [\phi_U \circ (q|_U)^{-1}]^{-1}: \mathbb C^n \to \mathbb C^n$ son holomorfas. Pero este es el caso si $(q|_U)^{-1} \circ (q|_U)$ es holomorfo. Pero esto es simplemente la traslación por un elemento del grupo que es holomorfo ya que asumimos que la acción del grupo es holomorfa.

¿Es esto correcto y suficiente?

Edición: En realidad quiero $G$ para ser también discreto y actuar libremente.

Answer 1

Tienes razón, pero la idea es más general.

Cuando su acción es correctamente discontinua se consigue que $\pi: M\to M/G$ es un mapa de cobertura que está abierto para que puedas definir las cartas locales de forma natural y consigas que $M/G$ es un espacio complejo euclidiano local;

En general $M/G$ no es un espacio de Hausdorff;

$M/G$ será segundo contable porque $\pi$ es surjetivo y abierto y $X$ es segundo contable;

Es posible construir una estructura olomórfica en $M/G$ ? Creo que es una pregunta realmente difícil porque en general su composición

$q|_V^{-1}\circ q|_U$ no es simplemente una moltiplicación con respecto a un $g\in G$