¿Se pueden enmarcar las leyes de la mecánica sin invocar sistemas de coordenadas?

Question

Para un matemático, un vector es una entidad geométrica en el espacio, que puede ser definido perfectamente sin necesidad de establecer un conjunto de x,y,z,t axies. En otras palabras, matemáticamente podemos trabajar con vectores como entidades sin la necesidad de determinar sus componentes en alguna base.

Mi pregunta es, ¿las leyes de la física también se enmarca en esta forma? Por supuesto, podemos escribir la $$\vec{F} = m\vec{a}$$ , pero ¿qué tan útil es que, a menos que también hablamos sobre los marcos inerciales de referencia? Así, podemos definir marcos de referencia, sin hacer las coordenadas de primaria de nuestra definición (o el establecimiento de vectores de la base, que viene a ser lo mismo)?

[Yo no creo que esto sea un duplicado de la pregunta. El otro estaba pidiendo un libro recomendación - estoy preguntando sobre el marco de las leyes de la física]

Answer 1

Mi respuesta es sí, si usted hace una clara distinción (rara vez se hace) entre el sistema de coordenadas (CS) y el marco de referencia (RF).

Para mí, una de RF pertenece a la física, un CS para las matemáticas. Por supuesto, la física no puede hacer sin el CS, pero el verdadero concepto físico es RF. Es lo que se necesita, por ejemplo, cuando pensamos en los marcos inerciales.

En breve, dijo, una de RF es un (abstracto) de laboratorio, es decir, un marco rígido dotado de instrumentos de medición (de espacio, de tiempo, y cualquier otra cantidad que puede ser necesario).

Muy frecuentemente en un RF de un CS es establecer, como coordenadas en muchos casos ayuda desarrollo matemático de los conceptos físicos. Pero para un determinado RF diferentes CS pueden ser asociados - por ejemplo, cambiando los ejes orientaciones, o incluso el cambio a coordenadas polares, etc.

También hay casos donde un CS no es necesario. Si usted escribe $$\vec F = m \vec a$$ usted debe saber de antemano si el RF es inercial, pero esto puede ser decidido sin coordenadas. Si todos los cuerpos no se somete a las fuerzas que se mueven de la recta de movimiento uniforme, en lo que eres bueno.

Y después de todo (la recordó al principio de tu pregunta) perfectamente buena y profunda de las matemáticas se puede hacer sin coordenadas. Como un trivial de la instancia, pero uno fundamental - euclidiana clásica de la geometría no sabía coordenadas.

Answer 2

Hay sutiles puntos que deben ser realizados con el fin de evitar la confusión. Las leyes de la mecánica realmente no necesita un conjunto de coordenadas cartesianas, sin embargo, se necesitan algunas condiciones previas.

Primera ley de la mecánica: hay en el universo existen algunos especiales de marcos de referencia donde un punto de partículas no están sujetos a fuerzas externas se mueve en una línea recta. Esto significa que, independientemente de las coordenadas conjunto elegido, uno debe tener $$ \frac{d}{dt}\textbf{v}(t)=0 $$ en los marcos de referencia (cuando no hay fuerzas externas que actúen). Como se puede ver en el orden de los de arriba para hacer sentido debe definir un flujo de $d/dt$ y definir los derivados de campos vectoriales en el espacio de la tangente de un colector con respecto a ese flujo. Esto a su vez implica que hacerlo de alguna manera tienen un colector, que en consecuencia implica que hacer algún tipo de coordenadas de los gráficos de mapa de abrir conjuntos de que el colector de a $\mathbb{R}^N$; estas coordenadas gráficos no deben ser necesariamente cartesiano, sin embargo, deben existir, por definición de colector en el primer lugar.

Segunda ley de la mecánica: en los marcos de referencia definido anteriormente (y en los que sólo), cuando una partícula está sometida a fuerzas externas, a continuación, la fuerza es proporcional a la aceleración, donde a su vez la aceleración se define como la segunda orden de la derivada de la posición con respecto al flujo de $d/dt$ definido anteriormente; de nuevo, esto implica que usted tiene un flujo en el colector y usted puede definir los derivados de los vectores de tangentes. Implícitamente esto requiere coordinar gráficos para medir el vector de posición, a pesar de que un conjunto de coordenadas cartesianas, no es necesario.

Hay un requisito adicional para las leyes de la física, a saber, que se debe buscar el mismo en todos los marcos de referencia; esto significa que si algo es cero en un marco de referencia debe ser cero en cualquier otro marco de referencia. Esta condición requiere de por sí' que están equipados con la composición de transformaciones para el tensor de campos entre los diferentes gráficos.

Para resumir el texto anterior, las leyes de la mecánica (y de la física en general) se han escrito para que son independientes de la coordenada que se usan para describir a ellos y por lo que se mantiene la misma forma en todos los marcos de referencia; sin embargo, por definición, están escritos como las leyes para el tensor de campos de colectores, que intrínsecamente contienen el concepto de coordinar los gráficos como mapas de las regiones.