¿Es un tetraedro regular la pirámide basada en triángulos equiláteros óptimos y, de ser así, cómo lo demostraría?

Question

Si uno es encontrar el área de superficie mínima para encerrar un volumen dado para este tipo de pirámide, ¿llegarían a un tetraedro?

Answer 1

Deje $T$ ser la base de la pirámide, y asumir el área de $T$ es $B$. Suponga que el punto medio de la $T$ es el origen. Deje $P = (x,y,z)$ ser el cuarto punto de la pirámide. A continuación, el volumen de la pirámide es $\frac{z \cdot B}{3}$. Así que los aviones de la forma $z = C$ describir pirámides con igual volumen. Ahora tratamos de encontrar la posición óptima de $P$ en un avión.

Si el área de $T$ es $B$, entonces su base puede ser elegido como $(\alpha, 0, 0)$, $(-\frac{\alpha}{2}, -\frac{\alpha \sqrt{3}}{2}, 0)$ e $(-\frac{\alpha}{2}, \frac{\alpha \sqrt{3}}{2}, 0)$ donde $\alpha = \frac{2 \sqrt{B}}{\sqrt{3 \sqrt{3}}}.$ le toca a usted para calcular el área de la pirámide en función de $x$ e $y$, para un determinado $z$ y $B$. El resultado deseado es que $(x,y) = 0$. Esto implica que el óptimo pirámides son aquellos cuyo cuarto punto se encuentra directamente por encima del punto medio; demostrando que el tetraedro es óptimo puede hacerse considerando sólo aquellos especie de pirámides.