El modelo de Ising es un modelo bien conocido y bien estudiado de magnetismo. Ising solucionó el modelo en una dimensión en 1925. En 1944, Onsager obtuvo la energía exacta del modelo (2D) bidimensional en cero campo y, en 1952, Yang presentó un cálculo de la magnetización espontánea. Sin embargo, el modelo tridimensional (3D) ha soportado desafíos y sigue siendo, hasta la fecha, un problema no resuelto excepcional.
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Nick
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583
Dos dimensiones teorías simplemente tienen mucha más estructura matemática que hace que muchos de estos modelos matemáticamente solucionable - integrable.
En particular, en el de larga distancia límite, se obtiene una escala invariante en la teoría de que es típicamente invariantes conformes así. Dos dimensiones de conformación de simetría es improbable cualquier de mayores dimensiones de la simetría de dimensiones infinitas. Este hecho juega un papel muy importante en la teoría de cuerdas que tiene 2 dimensiones de hojas de mundo. En cierto sentido, el 2D sistemas de conducir a "un número infinito de cantidades conservadas", que a menudo hace que su física solucionable.
Perturbativa de la teoría de cuerdas que refleja gran parte de la especial de las matemáticas que hace que los problemas manejable en dos dimensiones. Huelga decir que, 1D sistemas puede ser solucionable como 2D sistemas o más. Integrable - analíticamente solucionable - sistemas han incluido también el giro de las cadenas. Todas estas cosas son parte de la teoría de las cuerdas de una manera o de otra. Por otro lado, los problemas en tres o más dimensiones son cualitativamente más difícil y la mayoría de las preguntas sobre el modelo de Ising en 3D y modelos similares no se pueden resolver analíticamente.
Otra cuestión es si uno puede entender un modelo cualitativo. Por supuesto, una analítica comprensión le da a uno una herramienta superior para responder a esta pregunta así. Cuando no es así, todavía es posible ganar algo de comprensión cualitativa - numéricamente o por diversas aproximación de los regímenes y el hecho de que a partir de 2011, no se ha hecho, es sólo un accidente histórico que es más probable debido a que es un problema difícil.
No es el resultado sólo he oído hablar recientemente: se ha demostrado que la computación funciones de partición para la Ising-modelo de dimensiones > 2 es NP-completo. (El documento se puede encontrar en http://www.cs.brown.edu/people/sorin/pdfs/Ising-paper.pdf; más legible uno está aquí http://www.siam.org/pdf/news/654.pdf - ambos se pueden encontrar en la Wikipedia sobre el modelo de Ising). Estoy lejos de ser un experto en esto, pero la idea principal es que un cierto tipo NP-completo la teoría de grafos problema en la búsqueda de la máxima conjuntos de aristas pueden ser asignadas a tierra de los estados de Ising-3D. A grandes rasgos, esto significa que usted no puede encontrar un terreno estados en el polinomio de tiempo, y como la mayoría de los físicos saben, si la dificultad del problema de las escalas de manera exponencial, solucionar algo exactamente para sistemas de gran tamaño rápidamente se convierte en imposible.
heathrow
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25
El 3d del modelo de Ising puede ser "resuelto" en un cierto sentido, puede ser reformulado el problema de una forma discreta de celosía Fermionic cadena. Este método se explica en detalle en el último capítulo de Polyakov del "Medidor de Campos y Cuerdas", y es la generalización natural de la teoría de onsager el método de 3d.
Este método no produce analítica computable exponentes críticos en 3d, pero no porque el modelo 3d es intratable. Las pruebas que usted tiene dificultad en el cálculo de la energía libre de un arbitrario sublattice de la modelo en 3d es muy interesante, pero también funciona en la 5d o 6d, donde los exponentes críticos son medio campo, y así es exactamente computable. Esta prueba sólo muestra que la solución general, en el sentido de la computación en todas las funciones de correlación en la presencia arbitraria de los campos externos, va a ser difícil. Pero esto no significa que el punto 2 la función es uncomputable en la larga distancia límite.
El único significado preciso puedo ver a la declaración de que un modelo estadístico es solucionable, es decir que el cálculo de las funciones de correlación se puede reducir la complejidad de realizar una completa simulación Monte-Carlo. En este sentido, a sabiendas de que las configuraciones de los modelos 3d son descritos por Polyakov celosía Fermionic cadenas de ayuda, porque puede simular noninteracting cadenas adjuntando volúmenes en lugar de vueltas en cada sitio. El problema es que las cadenas son Fermionic, por lo que podría no ser posible simular una configuración típica usando Polyakov la transformación más simplemente que la forma habitual, debido a la Fermión signo problema.
Todo esto es investigado por Polyakov de tiempo en tiempo, y todavía hay una esperanza razonable de una nueva idea que se va a llevar a un progreso, la intratabilidad computacional resultados nonwithstanding.
Giacomo Verticale
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1035
Exaxt solvencia no tiene nada que ver con la NP-completitud.
Para las ecuaciones en una red o de un continuum, exacta solvencia pasa a ser equivalente a tener la cantidad suficiente de simetrías para permitir que la solución se determina mediante la explotación de estos. (En gran medida, este incluso tiene para ecuaciones diferenciales ordinarias en más de un par de variables).
La razón por la que algunos (clásica o cuántica) sistemas integrables, por tanto, proviene del hecho de que tienen una mucho más grande (infinito-dimensional) grupo de simetría, y por lo tanto infinitamente muchas leyes de conservación, mientras que un sistema típico sólo tiene un pequeño, de pocas dimensiones, grupo de simetría. Este es el moderno explicación de por qué la teoría de onsager la solución de las obras, mientras que no existe un análogo de la solución en la siguiente dimensión.
Si uno mira las listas de integración de sistemas (por ejemplo, el uno en http://en.wikipedia.org/wiki/Integrable_system#Exactly_solvable_models que para el caso clásico parece bastante completo) uno ve que ellos ponen muy escasa en las dimensiones superiores. No hay suficientes posible grandes grupos de simetría alrededor de....
Igor Stepanov
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Solucionó el modelo de Ising:
I. A. Stepanov. Soluciones exactas de los modelos de Ising unidimensional, bidimensional y tridimensional. - Nano Ciencia y la tecnología de Nano: un diario indio. 2012. vol. 6. No 3. 118 - 122. (El documento está en el sitio de diario con acceso libre)
