¿Qué significa Paul Halmos aquí?

Question

En la Ingenua Teoría de conjuntos, en la Sección 1.3 "Desordenada Pares", Paul Halmos menciona las siguientes:

Si, temporalmente, nos referimos a la sentencia de $"x=a \text{ or } x=b"$ como $S(x)$, podemos expresar el axioma de emparejamiento diciendo que existe un conjunto $B$ tales que $$x\in B\text{ if and only if } S(x).\tag{*}$$ The axiom of specification applied to a set $Un$ [such that $a\en\text{ y } b\en$, whose existence is guaranteed by axiom of pairing], asserts the existence of a set $B$ such that $$x\in B\text{ if and only if } (x\in A\text{ and } S(x)).\tag{**}$$ The relation between $(*)$ and $(**)$ typifies something that occurs quite frequently. All the remaining principles of set construction are pseudo-special cases of the axiom of specification in the sense in which $(*)$ is a pseudo-special case of $(**)$.

Pregunta: ¿Qué Halmos decir al afirmar que los restantes principios de la construcción y $(*)$ son pseudo-casos especiales de axioma de especificación y $(**)$, respectivamente?

De hecho, $(**)$ parece un caso especial de $(*)$.

Answer 1

Creo que el principio general aquí es que si usted quiere mostrar que existe un conjunto que contiene exactamente los elementos $x$ satisfacer algunas de primer orden de la fórmula $S(x)$, es suficiente para mostrar que existe un conjunto que contiene al menos los elementos y, a continuación, invocar el axioma de especificación. Esto es lo que se hace cuando usamos (**) para establecer (*) - el original axioma de emparejamiento, como se indica por Halmos, afirma que existe un conjunto que contiene $a$ e $b$, pero permite la posibilidad de que todos estos conjuntos contienen otros elementos no deseados. Usted necesita la especificación de la regla de fuera el último.

Así que cuando uno escribe algo como "vamos a $A$ ser el conjunto de todos los $x$ tal que $S(x)$", puede haber un uso oculto de el axioma de especificación.

Answer 2

El problema es con el llamado (sin restricciones) Principio de la comprensión :

$\exists B \ [x \in B \leftrightarrow S(x)]$.

Como sabemos, este principio conduce a la Paradoja de Russell.

Si nos han dicho principio, podemos demostrar que, para $a,b$ lo que sea, el par $\{ a, b \}$ existe, utilizando (como Halmos dice) con $x=a \lor x=b$ como la fórmula $S(x)$.

Pero en conjunto axiomático de la teoría, el principio anterior se sustituye por la Especificación : $x \in B \text { iff } (x \in A \text { and } S(x))$.

Por lo tanto, con el fin de demostrar que el par $\{ a, b \}$ existe, tenemos que encontrar una anterior conjunto existente $A$ que $a$ e $b$ pertenece.

Par axioma nos permite evitar este desvío, la concesión de licencias de la existencia de la pareja, sin más condiciones.

En este sentido, es una especie de "limitada" comprensión principio : podemos sey que es un caso especial de la Comprensión.

En este sentido, la OMI, Halmos llamadas a la Par de un "pseudo-especial" caso de la Especificación.

Answer 3

Sin el emparejamiento, no podemos usar la Especificación (también conocida como Comprensión) para obtener cualquier conjunto con exactamente 1 o 2 miembros. Porque sin el emparejamiento, no podemos mostrar que para cualquier $x,y$ existe $A$ con $x\in A$ y $y\in A.$

No tengo ningún comentario sobre lo que significa "caso pseudo-especial".