En Homotopy Tipo de Teoría (HoTT en lo que sigue) uno puede calcular homotopy grupos de objetos que tienen nombres que son los mismos que algunos de los habituales espacios: por ejemplo, uno puede considerar la $S^1$ , el cual es definido por $*:S^1, b : *=_{S^1}*$ y con la costumbre principio de inducción, y calcular su homotopy grupos.
Se ha demostrado por ejemplo que con esta definición $\pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$ y la mayor homotopy grupos de desaparecer, que coincide con la habitual homotopy grupos de la habitual $S^1$.
Ahora parece que todo el homotopy grupos que han sido calculadas en HoTT hasta el momento (digamos de las esferas) coinciden con los de siempre (en el sentido de que tienen la misma descripción : no podemos, literalmente, comparar, porque ellos no viven en la misma teoría). Mi pregunta es: ¿cuánto de esto es una coincidencia ? Espero que no es una coincidencia, y, entonces, mi pregunta real es en realidad : podemos explicar esto ? Si es así, ¿en qué términos ?
No estoy pidiendo una prueba, pero mi problema es el resultado parece difícil de estado (ya lo he dicho : los grupos no viven en la misma teoría, y para empezar ¿cómo podemos relacionarlas HoTT s $S^1$ con la habitual $S^1$ ? ).
Así que me gustaría una respuesta que explica cómo el estado del resultado (no necesariamente los detalles, pero al menos las ideas principales), y cómo probar que (de nuevo, las ideas principales de la prueba - espero algo como "oh, así que tenemos este modelo de HoTT que podemos definir en la teoría de conjuntos, y al interpretar HoTT en este modelo, $S^1$ se ve como el círculo y su homotopy grupos de parecerse a la de costumbre homotopy grupos")
