¿Está este conjunto abierto o cerrado (o ambos?)

Question

Estoy tratando de averiguar si el siguiente conjunto está abierto o cerrado. PS

He intentado imaginarlo y para mí, parece un conjunto abierto, pero tal vez sea tanto abierto como cerrado. ¿Cómo determinaría eso?

Answer 1

No está abierto porque contiene $(1,1,0)$ y todos los vecindarios si este punto contiene puntos con $z \neq 0$ . No está cerrado porque $(\frac 1 n, \frac 1 n,0)$ es una secuencia en este conjunto que converge a un punto fuera del conjunto.

Answer 2

No, no es un conjunto abierto. Por ejemplo, $(1,1,0)\in D$, pero no abrir la bola centrada en $(1,1,0)$ está contenido en $D$.

Por otro lado, $\left(\left(\frac1n,\frac1n,0\right)\right)_{n\in\mathbb N}$ es una secuencia de elementos de $D$ que converge a $(0,0,0)$. Pero $(0,0,0)$ no pertenece a $D$. ¿Qué se puede deducir de esto?