Ceros de$\sin(z)-z^2$

Question

Estoy estudiando para mi prelims examen. Me topé con la siguiente pregunta.

Demostrar que existen infinitos ceros de $\sin(z)-z^2$ en el plano complejo.

Tenía apenas ha $f(z)=\sin(z)-z$, se puede observar que a $f(z+2\pi)=f(z)-2\pi$. Uno puede, por lo tanto, vemos que, si $f$ toma ceros sólo finitely a menudo, a continuación, $f$ debe también tener el valor de $-2\pi$ sólo finitely a menudo. El teorema de Picard, por lo tanto, nos dice que $f$ es un polinomio, lo cual es absurdo.

Este enfoque directo no parece funcionar para mi pregunta. Así, traté de uso del teorema de Rouch. Para que me tome $g(z)=\sin(z).$ sé que los ceros de $\sin(z)$, mi idea era encontrar una región que contiene $n$ ceros de $sin(z)$ y muestran que en el límite tenemos $$|f-g|<|f|+|g|.$$

Yo no podría elegir el adecuado región, tales que la relación se mantiene en el límite. No estoy seguro de si funcionará o no. Por supuesto, si funciona va a probar algo más fuerte, es decir, vamos en un camino tienen una manija en la ubicación de los ceros.

Cualquier sugerencia se agradece. Por otra parte, mi conjetura es que si $p(z)$ es cualquier polinomio, a continuación, $f(z)=\sin(z)-p(z)$ tendrá un número infinito de ceros en el plano complejo. Me gustaría ver un argumento para este caso. Estoy tratando de uso del teorema de Rouch, pero no soy capaz de hacer cualquier progreso. También, si no hay un enfoque alternativo (lo que evita la Rouch del teorema), también será muy apreciada.

Answer 1

Preguntas como esta normalmente pueden ser respondidas mediante el Hadamard teorema de factorización. La función de $f(z)=\sin z-z^2$ tiene orden finito, así que si tiene un número finito de ceros, a continuación, su Hadamard de la factorización de la forma $P(z)e^{Q(z)}$ para algunos polinomios $P$ e $Q$. Así, tendríamos la ecuación $$P(z)e^{Q(z)}=\sin z-z^2$$ for all $z\in\mathbb{C}$. Differentiating three times we get $$R(z)e^{Q(z)}=-\cos z$$ for some other polynomial $R$. Pero esto es imposible, puesto que el lado izquierdo tiene un número finito de ceros y el lado derecho tiene una infinidad de ceros.

(El mismo argumento se aplica con $z^2$ reemplazado por ay polinomio; sólo tienes que diferenciar las veces suficientes como para hacer que se fuera.)