Demostración con inducción de que $n^2+n$ es par, cuando $n \in \mathbb{N}$

Question

Problema

Demostración con inducción de que $n^2+n$ es incluso cuando $n \in \mathbb{N}$

Intento de solución

$n^2+n$ es incluso cuando se satisface: $$ n^2+n \mod 2 = 0 $$ lo que significa que es divisible por 2. Puedo empezar a demostrar que esta afirmación es válida cuando $n \in \mathbb{N}$ .

Caso base

la afirmación es válida cuando $n=0$

$$ 0^2+0 \mod 2 = 0 $$

Lo cual es cierto ya que $0$ dividido cualquier $n\in \mathbb{N}$ es $0$ .

Paso inductivo

Supongamos que la afirmación es válida cuando $n=k$ (hipótesis de inducción)

$$ k^2+ k \mod 2 = 0 $$

entonces deja que $n = k+1$

$$ (k+1)^2 + (k+1) \mod 2 = 0 $$ $$ \iff k^2+2k+1+k+1 \mod 2 = 0 $$ $$ \iff k^2+k + 2k + 2 \mod 2 = 0 $$

Basado en la hipótesis de la inducción $k^2+k \mod 2 = 0$ . Lo que implica que podemos deducir nuestra afirmación a

$$ \implies 2k + 2 \mod 2 = 0 $$ Lo que es cierto para $\forall k \in \mathbb{N}$ ya que cualquier $k\in \mathbb{N}$ multiplicado por 2 es divisible por 2. Añadirle 2 no altera la divisibilidad ya que 2 también es divisible por 2.

Q.E.D

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¿Es correcta mi prueba?

Answer 1

Su prueba es correcta.

Para el caso base, se elige $n=0$ . Creo que asumes $\Bbb N=\{0,1,2,\cdots\}$ . Pero muchos son tratados $\Bbb N$ como $\{1,2,\cdots\}$ . De todos modos, su resultado es cierto para este caso base $n=1$ también, ya que $1+1=2$ que está en paz.

Alternativamente, observe que $n^2+n=n(n+1)$ producto de dos términos consecutivos. ¡Así que un factor debe ser par y por lo tanto la expresión es par!

Answer 2

No tengo mucho conocimiento de la notación mod ni de las pruebas de este tipo, pero sé esto:

nota que $n^2+n=n(n+1)$ que para $n\in \mathbb{N}$ es lo mismo que multiplicar dos enteros consecutivos. Como los enteros alternan entre Impares y Pares, podemos ver que $n$ o $n+1$ debe ser par, y el otro debe ser impar. ya que $\text{odd}\times\text{even}=\text{even}$ esto demuestra que $n(n+1)$ también debe ser par.

Creo que esto es el equivalente a decir:

$$n \mod 2=0 \,\,\text{or}\,\,(n+1)\mod 2=0$$ $$\therefore n(n+1) \mod 2=0$$