¿Cómo se transforma una suma en una suma telescópica?

Question

Muy posiblemente esto ya se ha preguntado antes, pero como no lo he encontrado:

Sea $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ sea una secuencia, y $$\sum_{n= 0}^\infty a_n $$ una suma infinita.

Busco métodos generales para transformar esta suma en una suma telescópica, es decir, encontrar una solución a la fórmula de recurrencia $$a_n= r(n) - r(n-1) $$

Esto puede verse como una ecuación de recurrencia no homogénea: $$r(n)= r(n-1)+a_n $$

Un intento fallido sería este:

Utilizando los métodos de la matemática discreta, podemos demostrar que la función generadora de $r(n)$ tiene la forma cerrada: $$ \sum_{i=0}^\infty r(i)x^i = \frac{r(0) - \sum_{n=d}^\infty a_n x^n}{1-x}$$

Sin embargo, para poder utilizarlo, primero tendríamos que encontrar una forma cerrada para $$ \sum_{n=d}^\infty a_n x^n$$ Sin embargo, si encontramos una forma cerrada para eso, también podríamos encontrar una forma cerrada para $$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$ , sustituto $x=1$ y se acabó.

TL, DR: De esta forma, a mi enfoque le falta algo, o simplemente no tiene sentido. ¿Cuáles son otras formas posibles de resolver esta ecuación de recurrencia, u otras formas generales de transformar las sumas en sumas telescópicas?

Answer 1

Usted está pidiendo esencialmente un método general para sumar cualquier finito o infinito serie (o suma indefinida ). ¿Correcto? No existe tal método. Por cierto especial familias de series, hay do existen métodos. Por ejemplo, la suma de secuencias polinómicas, es decir, $\sum_n n^k$ utilizando Números de Bernoulli . Un caso especial importante similar a las series telescópicas es utilizar Pares Wilf-Zeilberger que requiere un algoritmo informático.

Answer 2

En general, no existe una técnica adecuada para todos los casos. Algunas series no tienen precisamente componentes telescópicos fáciles de rastrear. Un ejemplo de tipos de series que mayo tienen una componente telescópica son las series hipergeométricas, en las que deseamos sumar cualquier cosa de la forma

$$\sum_{k=0}^n\frac{(a_1)_k...(a_p)_k}{(b_1)_k...(b_q)_k}$$

donde la notación $(a)_k$ denota la función factorial ascendente. Las funciones hipergeométricas son cualquier función que pueda escribirse de esta forma, junto con el término $x^k/k!$ y el límite superior se toma como infinito. Encontrar la serie telescópica para estos requiere el uso de Algoritmo de Gosper o su versión modificada Algoritmo de Zielberger . He aquí un ejemplo de cómo utilizar el algoritmo de Gosper.

Supongamos que queremos una forma cerrada para la suma

$$S_m=\sum_{k=0}^m(-1)^k\binom{n}{k}$$

donde $m\leq n$ . Para evaluar

$$S_m=\sum_{k=0}^ma_k$$

observamos que $S_m-S_{m-1}=a_m$ . Esto, la suma $S_m$ es una especie de antiderivada de la suma discreta. Como tal, $S_m$ se denomina a veces suma indefinida de $a_k$ . Sin entrar en detalles, deseamos escribir la relación de los términos tal que

$$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{p_{k+1}}{p_k}\frac{q_k}{r_k}$$

para algunos polinomios $p_k,q_k$ y $r_k$ . Una condición que debemos hacer cumplir (por razones complicadas) es que si $(k+\alpha)$ divide $q_k$ y $(k+\beta)$ divide $r_k$ entonces $\alpha-\beta-1$ no puede ser un número entero positivo. Esto es siempre es posible multiplicando los términos apropiados al polinomio $p_k$ hasta que esto sea cierto. Para nuestro problema, tenemos

$$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{(-1)^{k+1}\binom{n}{k+1}}{(-1)^k\binom{n}{k}}=\frac{k-n}{k+1}$$

Toma, $p_k=1$ , $q_k=k-n$ y $r_k=k+1$ que satisfacen nuestras hipótesis. El Algoritmo de Gosper establece que si existe un término hipergeométrico telescópico, entonces debe tomar la forma

$$S_{k-1}=\frac{r_{k-1}a_ks_k}{p_k}$$

para algún polinomio $s_k$ (de nuevo, el razonamiento es complicado). El polinomio $s_k$ es la solución de

$$p_k=q_ks_{k+1}-r_{k-1}s_k$$

Introduciendo nuestras ecuaciones, tenemos

$$1=(k-n)s_{k+1}-ks_k$$

Si asignamos $s_k=-1/n$ que es un polinomio en $k$ de grado $0$ se cumple la condición polinómica. Por lo tanto, tenemos

$$S_{k-1}=(-1)^{k+1}\frac{k\binom{n}{k}}{n}=(-1)^{k+1}\binom{n-1}{k-1},\;\;\;\;S_k-S_{k-1}=a_k$$

Una regla importante al tratar con términos hipergeométricos es que si un factorial llega a ser negativo, simplemente lo consideramos como $0$ . Nuestra respuesta final es

$$\sum_{k=0}^m(-1)^k\binom{n}{k}=S_m-S_{-1}=(-1)^{m}\binom{n-1}{m}$$

Se pueden establecer muchas otras sumas y series hipergeométricas, como por ejemplo $k!$ , $1/(k^2-1)$ etc. Sin embargo, de forma más general, no siempre podemos utilizar esto, pero podemos encontrar relaciones de recursión entre series similares. Por ejemplo, consideremos la suma

$$S=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2$$

El Algoritmo de Gosper no producirá ningún polinomio $s_k$ que necesitamos. En su lugar, tratamos de utilizar el Algoritmo de Gosper en la suma modificada

$$S=b_0\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2+b_1\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}^2$$

para unos coeficientes $b_n$ que se especificará más adelante. Aplicando el término ratio se obtiene

$$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{b_0\binom{n}{k+1}^2+b_1\binom{n+1}{k+1}^2}{b_0\binom{n}{k}^2+b_1\binom{n+1}{k}^2}=\frac{b_0(k-n)^2+b_1(n+1)^2}{b_0(k-n-1)^2+b_1(n+1)^2}\frac{(k-n-1)^2}{(k+1)^2}$$

Asignamos $p_k=b_0(k-n-1)^2+b_1(n+1)^2$ , $q_k=(k-n-1)^2$ y $r_k=(k+1)^2$ . El polinomio $s_k$ satisface

$$b_0(k-n-1)^2+b_1(n+1)^2=(k-n-1)^2s_{k+1}-k^2s_k$$

Sin entrar en detalles, la cantidad $s_k=2k-3(n+1)$ satisface la ecuación con $b_0=-2(2n+1)$ y $b_1=n+1$ . Ahora tenemos

$$S_{k-1}=\frac{k^2(-2(2n+1)\binom{n}{k}^2+(n+1)\binom{n+1}{k}^2)(2k-3(n+1))}{-2(2n+1)(k-n-1)^2+(n+1)^3}$$

Tenemos entonces sumas parciales de

$$-2(2n+1)\sum_{k=0}^m\binom{n}{k}^2+(n+1)\sum_{k=0}^m\binom{n+1}{k}^2=\frac{(m+1)^2(-2(2n+1)\binom{n}{m+1}^2+(n+1)\binom{n+1}{m+1}^2)(2(m+1)-3(n+1))}{-2(2n+1)(m-n)^2+(n+1)^3}$$

Dejar $m$ sea lo suficientemente grande como para que los términos factoriales desaparezcan, tenemos que la suma indefinida desaparece, y

$$\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}^2=\frac{2(2n+1)}{n+1}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2$$

Así se obtiene una relación de recursión para la suma en cuestión. Para $n=0$ la suma es $1$ . Utilizando la recursión, obtenemos que las siguientes sumas son $2,6,20,$ etc. Estos son precisamente los coeficientes binomiales centrales, por lo que finalmente tenemos

$$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}$$ .

Este algoritmo se puede emplear muchas veces en muchas sumas diferentes, donde las sumas también pueden ser infinitas.

Answer 3

Está buscando $$ a(n) = r(n) - r(n - 1) $$ o, lo que es más habitual $$ a(n) = s(n + 1) - s(n) = \Delta s(n) $$

Entonces $s(n)$ se denomina Antidelta o Suma Indefinida de $a(n)$ y lo mismo que para las integrales algunas funciones tienen una forma cerrada para la Antidelta, y otras no.

Encontrará más detalles en el enlace indicado.