$\newcommand{\FUNC}[1]{#1 \frac{nx}{1+n^4x^2}}$
El siguiente problema que me ha molestado por un tiempo muy largo. He estado tratando de resolver este problema para los 3 días de duración - y se siente he probado de todo. Para concluir - estoy absolutamente necesario la ayuda de los profesionales; Y por eso he venido aquí.
Estoy dado con la siguiente función de la serie:
$$S(x)\equiv\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nf_n(x)\equiv\sum_{n=1}^{\infty}\FUNC{(-1)^n}$$
Mi tarea es decidir si la serie $S(x)$ converge uniformemente en $[0,\infty)$, o no.
Cosas que he probado:
(1) he intentado utilizar Leibniz la Alternancia de Serie de la Prueba. He demostrado que los $f_n(x)$ converge uniformemente a $0$, pero el problema es que $f_n(x)$ no es una disminución de la secuencia - para cada $n\in\mathbb{N}$existe $0<x_0\in\mathbb{R}$, de tal manera que $f_n(x)$ es el aumento en $[0,x_0]$, y la disminución en el $[x_0,\infty)$. Me he dado cuenta de que $\lim_{n\to\infty}x_0=0$, pero eso no ayuda - ya que nunca iba a llegar a $0$ (que sólo podría ayudar a demostrar que la serie converge uniformemente en $[c,\infty)$ cuando $c>0$).
(2) he intentado utilizar de Weierstrass M de la Prueba. Me encontré con que $f_n(x)\leq\frac{1}{2n}$ por cada $n\in\mathbb{N}$, pero que por supuesto no ayuda (desde $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}$ diverge). El gran problema con la M prueba es que $\frac{1}{2n}$ es en realidad un apretado obligado.
(3) he demostrado que los $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\FUNC{}$ converge uniformemente en $[c,\infty)$ cuando $c>0$, pero no converge uniformemente en $[0,\infty)$. Que no era muy útil, ya que $S(x)$ podría converge condicionalmente.
(4) la Definición de:
$$S_m(x)\equiv\sum_{n=1}^{m}\FUNC{(-1)^n}$$
Es suficiente para mostrar que:
$$(*) \lim_{m\to\infty}\left(\sup_{[0,\infty)}\left|S_m(x)-S(x)\right|\right)\equiv\lim_{m\to\infty}\left(\sup_{[0,\infty)}\left|\sum_{n=m+1}^{\infty}\FUNC{(-1)^n}\right|\right)=0$$
con el fin de demostrar que la serie converge uniformemente en $[0,\infty).$ Parece imposible y complicado, sin embargo, yo estaba con ganas de probar eso también. Pero fue en vano.
Tengo que decir que mi intuición es que la serie hace de manera uniforme convergen en $[0,\infty)$, y que es debido a que utiliza calculadoras gráficas, y se encontró que por cada $n\in\mathbb{N}$:
$$\sup_{[0,\infty)}\left|\sum_{n=m+1}^{\infty}\FUNC{(-1)^n}\right|\leq\sum_{n=m+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$
Y desde $\displaystyle \sum_{n=m+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ converge, podemos decir que su límite cuando $m\to\infty$ es $0$, lo que demuestra la $(*)$. Sin embargo, yo no podía probar esta desigualdad. He intentado utilizar la desigualdad de triángulo, para distinguir entre los pares y los impares los índices de nada trabajado.
Como pueden ver - realmente necesito ayuda. Muchas gracias!
