La enfermedad se propaga a través de tablero de ajedrez.

Question

Supongamos que tenemos un tablero de ajedrez infinito (cuadriculada) con una sola "infectado" de la plaza en el momento $t=0$. Después de cada paso de tiempo, cada plaza que está al lado (a compartir un borde) a uno o más infectados plazas se infecta con una probabilidad de $p$. Infectados plazas permanecen infectados para siempre.

Deje $X_t$ el número de plazas de la infección en el tiempo $t$. Probablemente es demasiado complicado y difícil de calcular explícitamente $\mathbb E[X_t]$. Sin embargo, podemos anticipar que las $X_t\sim c\cdot t^2$ para algunas constantes $c$ que depende del $p$. ¿Alguien sabe cómo hacer esta estimación asintótica más nítida, calculando el valor explícito de $c$ en términos de $p$? En otras palabras, podemos encontrar $$\lim_{t\to\infty}\frac{\mathbb E[X_t]}{t^2}=c=\space ?$$ Yo no sé que $c=2$ cuando $p=1$ e $c=0$ cuando $p=0$, así que yo esperaría algo como $c=2p$ o $c=2p^2$. Sin embargo, no tengo idea de cómo ir sobre la búsqueda de $c$. Puede alguien por favor ayuda?

Answer 1

(Esto es más como un comentario con imágenes)

Aquí están algunas de las simulaciones de los valores de $c = c(p)$ el uso de la cuadrícula de tamaño $1000\times1000$ e $500$ pasos junto con algunos de ajuste de curvas.

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Los datos se desvía claramente de la polinomio $2p^2$, y aunque la trama puede parecer sugerir que $c(p)$ supone una buena forma cerrada, creo que es un artefacto de numérico de ajuste y yo soy propenso a creer que $c(p)$ no se da en una buena forma cerrada en $p$. Además, el uso de la misma cuadrícula y el número de pasos, para $p = 1/2$, el clúster parece

$\hspace{12em}$

El límite es sorprendentemente suave cuando se compara con otros conocidos clúster de modelos de crecimiento. Y lo que es más sorprendente para mí es que yo era incapaz de encontrar literatura sobre este modelo en concreto. Tal vez simplemente estoy faltando el derecho de palabra clave, pero si es el caso de que este modelo aún no ha sido estudiado, incluso demostrando que $X_t$ normalmente crece a la velocidad de la $\asymp t^2$ casi seguramente hará un resultado muy interesante, dejando solo el escalado límite de la declaración en la forma del clúster.

Answer 2

Algunos sumamente áspero estimados / enfoque / demasiado largo para un comentario

Parece $c$ va $p^2$.

• Siguiente de la operación, deje $X_t$ no. de las células infectadas en el tiempo $t$. Esta es una especie de "área". $X_1 = 1$.

• Deje $B_t$ ser el de células no infectadas que están junto a algunas de las células infectadas. Esta es una especie de "frontera" o "circunferencia" de la "zona" $X_t$. $B_1 = 4$.

• Por el modelo de infección, $X_{t+1} - X_t = p B_t$.

Necesitamos otra relación entre el $X$ e $B$ antes de intentar resolver. Parece plausible que la $B^2 \propto X$. Vamos a decir $B^2 = k X$. ¿Qué es $k$?

• Si $X$ eran $45^\circ$ inclinado-cuadrado (como cuando se $p=1$), tendríamos $k=8$.

• Si $X$ fueron un perfecto cuadrado con lados paralelos a los ejes, tendríamos $k=16$.

• Si $X$ eran de un círculo, tendríamos (no estoy seguro...) quizá $k = {(2\pi r)^2 \over \pi r^2} = 4\pi$.

Ahora tenemos lo suficiente como para conectar $X_t = c t^2$ y resolver para $c$:

• $X_{t+1} - X_t = c ( (t+1)^2 - t^2) = c(2t+1) \approx 2ct$

• $pB_t = p \sqrt{kX} = p \sqrt{kc} \;t$

• Igualándolos: $2ct = p\sqrt{kc}\; t \implies \sqrt{c} = p\sqrt{k/4} \implies c = p^2 k/4$.

Así que si la inclina-cuadrado de $(k=8)$ caso es típico, tenemos $c = 2 p^2$.

Más ideas: esto es, por supuesto, extremadamente áspero. Por otra parte, creo que hay un sesgo sistémico: creo $k=8$ es en realidad el valor mínimo $k$, es decir, para cualquier forma (cualquier conjunto de células infectadas) $B^2 / X \ge 8$, con igualdad de iff la forma es un perfecto cuadrado inclinado (que está garantizado cuando se $p=1$). Si es así, tal vez podemos afirmar que la $c=2p^2$ es de hecho una áspera límite inferior?

Answer 3

Cuando $p$ es pequeña, el líder de la orden de la probabilidad de que una célula $(\pm x,\pm y)$ está infectado es $${x+y\choose x}{t\choose x+y}p^{x+y}\\ \approx {(tp)^{x+y}\over x!y!}$$ Si cuento los puntos donde esta aproximación es mayor que $1$, lo que implica que, para un pequeño $p$, la región está delimitada por la curva de $$tp=\sqrt[|x|+|y|]{|x|!|y|!}$$ Por desgracia, el contorno de la parcela de que la función tiene un guión en $y=0$, que no se ve en Sanchul Lee la imagen. $\sqrt[x+y]{x!y!}$">