¿Conocer la superficie de todas las caras determina de forma única un tetraedro?

Question

Me preguntaba si las cuatro áreas de las caras de un tetraedro eran información suficiente para determinar su forma de forma única. Por ejemplo, ¿es cierto que si las superficies son iguales, el sólido debe ser un tetraedro regular?

Si la respuesta es negativa, ¿qué más necesitamos para determinar completamente la forma del tetraedro en el espacio?

Answer 1

Consideremos el conjunto de vértices en $\mathbb R^3$ $$\{(a, b, 0), (a, -b, 0), (-a, 0, b), (-a, 0, -b)\}$$ para $a, b > 0$ . Entonces está claro que las caras determinadas por estos vértices son todos triángulos isósceles congruentes con longitudes de lado $2b$ , $\sqrt{4a^2+2b^2}$ , $\sqrt{4a^2+2b^2}$ y zona común $a \sqrt{4a^2+b^2}$ . Por lo tanto, mediante una elección adecuada de $a$ y $b$ podemos hacer que el tetraedro sea irregular pero tenga caras de igual área; además, para un área dada de una cara, hay en general más de una opción de $(a,b)$ Por lo tanto, incluso para este tipo muy restringido de tetraedro, conocer el área de cada cara no determina de forma única el tetraedro.

Answer 2

Un tetraedro con vértices en $$ (0,0,0)\\ (1/2, 0,0)\\ (0,2,0)\\ (-0.0924127, 1.9387, 0.4913857) $$ tendrá área $1$ para todas las caras.

Las coordenadas de ese último punto son aproximadas (y, por supuesto, se puede intercambiar libremente el signo del $z$ -coordenada). El punto real es la solución de las tres ecuaciones $$ \cases{x^2 + z^2 = 1/4\\ y^2 + z^2 = 4\\ \displaystyle\left(\frac4{\sqrt{17}}(x-1/2) -\frac1{\sqrt{17}}y\right)^2 + z^2 =\frac43} $$ Coloqué primero los tres primeros vértices, para asegurarme de que una cara no fuera equilátera y tuviera área $1$ entonces estas tres ecuaciones son exactamente las ecuaciones que aseguran que las otras tres caras tienen área $1$ . Los lados izquierdos son (los cuadrados de) las altitudes de las tres caras restantes si se coloca el cuarto vértice en $(x, y, z)$ y los lados derechos son lo que deben ser esas altitudes para que el área de la cara correspondiente sea $1$ .

Como puedes ver, tengo cierta libertad para dar a la primera cara la forma que quiera, siempre que su área sea $1$ , y luego acabo de establecer las tres ecuaciones para encontrar el cuarto vértice. Es posible que algunas versiones extremas de la primera cara provoquen que las tres ecuaciones resultantes no tengan ninguna solución real, pero aquí he demostrado que al menos un tetraedro no regular puede generarse de esta manera.

Answer 3

La respuesta es "no", lo que puede demostrarse contando los grados de libertad.

Un tetraedro tiene 4 vértices en un espacio tridimensional y, por lo tanto, está definido por 12 parámetros independientes, es decir, el $x$ , $y$ , $z$ coordenadas de cada vértice.

Ahora veamos qué queremos decir con que dos tetraedros tienen "la misma forma". La orientación en el espacio tridimensional no importa, y eso elimina 6 de los 12 parámetros (hay 3 traslaciones del cuerpo rígido y 3 rotaciones).

Pero el tetraedro sólo tiene cuatro caras, por lo que fijar el área de cada cara sigue dejando dos parámetros independientes para variar su forma de forma arbitraria.

Si quieres elegir dos cantidades más para fijar la forma del tetraedro, eso podría hacerse de muchas maneras diferentes, pero sería bueno hacerlo de una manera que sea independiente de cualquier sistema de coordenadas utilizado para describirlo.

Un parámetro natural podría ser el volumen del tetraedro, pero encontrar un segundo no es tan "obvio".

Los radios de las esferas inscrita y circunscrita podrían ser opciones interesantes. Demostrar que definen unívocamente el tetraedro en combinación con el área de las caras se deja como ejercicio para el lector :)

Otra opción podría ser fijar las longitudes de dos aristas. Elegir un par de aristas que no compartan vértice tiene una bonita simetría.

Answer 4

Es fácil construir un tetraedro con lados congruentes con cualquier triángulo isósceles agudo.

Empieza cogiendo dos copias del triángulo, pégalas por la base y luego separa los ápices hasta que la distancia entre ellos sea igual a la longitud de la base. (Siempre puedes hacer esto si los triángulos son agudos, ya que la longitud de la base de un triángulo isósceles agudo es menor que el doble de la altura). Ahora los lados de los triángulos, junto con la línea entre sus ápices, forman dos adicional triángulos isósceles que son congruentes con el original, y así se tiene un tetraedro con cuatro caras congruentes. Recorta algunos triángulos de papel y ¡pruébalo si no te lo crees!

De hecho, el mismo método funciona en realidad para cualquier triángulo agudo, ¡aunque no sea isósceles! La única parte complicada es que ahora hay dos formas posibles de pegar las dos primeras copias del triángulo en la base, dependiendo de si le das la vuelta a una de ellas primero o no, y tienes que elegir la forma que deje el no igual lados de los triángulos adyacentes. A continuación, proceda como en el caso anterior.

(Véanse también las respuestas a esta pregunta relacionada .)

Así, en particular, para cualquier triángulo agudo con área $A$ existe un tetraedro con todas las caras congruentes a ese triángulo, y por tanto también con área $A$ . A menos que el triángulo sea equilátero, este tetraedro no será regular.

Answer 5

Quizá le interese mi artículo con Petr Lisonek, Invariantes métricas de tetraedros mediante eliminación polinómica Conferencia ISSAC 2000, Aberdeen (Escocia), julio de 2000, 217-219. Demostramos que en general las cuatro áreas, el circunradio y el volumen no determinan un tetraedro, pero existen tetraedros no regulares que están determinados por las cuatro áreas y el circunradio. Por ejemplo, éste es el caso si una cara es un triángulo equilátero inscrito en un gran círculo de la esfera circunscrita.