$f(16x)=16f(x) $ $ f$ es continua

Question

$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua tal que $f(16x)=16f(x)$ para cada una de las $x$.

Debe ser $f(x)=ax$? ¿Cómo puedo probar eso?

Answer 1

Claramente $f(0)=0$ También, si tenemos una solución se define por la negativa $x$ positivo $x$, simplemente podemos combinarlos.

Deje $h:\mathbb R\to \mathbb R$ ser cualquier función continua con período de $1$ - que es $h(x+1)=h(x)$ todos los $x$. Definir $$f(x)=xh(\log_{16} x)$$ for $x>0$.

Esto da una arbitraria $f:\mathbb R^+\to\mathbb R$ que satisface $f(16x)=16f(x)$ $f(x)\to 0$ $x\to 0$ (el último, porque $h$ es limitada.)

No es difícil demostrar esto le da todas esas funciones.

Esta es esencialmente la misma respuesta como varios de los anteriores, pero con un limpiador de la fórmula que nos permite ver la relación entre el "obvio" ejemplos de $f(x)=ax$ e este ejemplo general, $f(x)=xh(\log_{16} x)$.

La solución general es, dado $g,h:\mathbb R\to\mathbb R$ continuo con período de $1$ (es decir, $g(x+1)=g(x)$ $h(x+1)=h(x)$ todos los $x$) a continuación:

$$f(x)=\begin{cases}xg(\log_{16} x)&\text{if }x>0\\ xh(log_{16} (-x))&\text{if }x<0\\ 0&\text{if }x=0. \end{casos}$$

es un ejemplo, y esto cubre todos los ejemplos.

Dado un $f$ que se cumple la regla anterior, definir $$g(t) = \frac{f(16^t)}{16^t}$$ for $t\in\mathbb R$. We can easily show that $g(1+t)=g(t)$ that $g$ is continuous, an then, letting $t=\log_{16} x$ for $x>0$ we see that $f(x) = xg(\log_{16} x)$.

Igualmente, os $h(t)=\frac{f(-16^t)}{16^{t}}$.

Answer 2

No, esto no es cierto. Por ejemplo, $f(x)=|x|$. Sin embargo, será verdadero si $f(kx)=kf(x)$ todos los $k\in\mathbb{Z}$.

Answer 3

Deje $g,h\colon[1,16]\to\mathbb R$ dos funciones continuas con $g(16)=16g(1)$$h(16)=16h(1)$, pero de otra manera arbitraria. Definir $$ f(x)=\begin{cases}16^kg(u)&\text{if }x>0\text{ with }k:=\lfloor\log_{16}x\rfloor, u:=\frac x{16^k},\\16^kh(u)&\text{if }x<0\text{ with }k:=\lfloor\log_{16}|x|\rfloor, u:=\frac {|x|}{16^k},\\0&\text{if }x=0.\\ \end{casos}$$ A continuación, $f\colon\mathbb R\to \mathbb R$ es continua(!) y $f(16x)=16f(x)$ todos los $x$. Esto nos da una gran cantidad de ejemplos y, de hecho, todos los ejemplos (por $f$, las funciones de $g=f|_{[1,16]}$ $h=(-f)|_{[1,16]}$ producción $f$ nuevo).

Answer 4

Hay un montón de no-lineal de las soluciones de la ecuación funcional, usted puede incluso exigir a ser suave todo el mundo (excepto en el origen):

$$f(x) =\begin{cases} x \left(A_0 + \sum_{k=1}^{\infty} A_k \sin(2\pi k \log_{16}|x| + \alpha_k)\right)& x > 0\\ 0 & x = 0\\ x \left(B_0 + \sum_{k=1}^{\infty} B_k \sin(2\pi k \log_{16}|x|+ \beta_k)\right)& x < 0 \end{casos} $$ donde $A_k, B_k, \alpha_k, \beta_k$ son constantes arbitrarias.

Aviso de $f(0) = \lim_{n\to\infty}f(16^{-n}) = \lim_{n\to\infty}16^{-n}f(1) = 0$. Si uno más de la demanda $f$ diferenciable en a $0$, entonces para todos los $x \ne 0$, tenemos:

$$\frac{f(x)}{x} = \lim_{n\to\infty}\frac{f(16^{-n}x)}{16^{-n}x} = \lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = f'(0) \implies f(x) = f'(0)x $$

es decir, Las únicas soluciones que se diferenciable en a $x = 0$ son las lineales.