Por lo que tengo un conocimiento introductorio de la categoría teoría, pero hay un concepto que no puedo conseguir mi cabeza alrededor y me gustaría algo de ayuda:
Cuando mi clase había categorías definidas nos dijo una categoría $\mathcal{A}$ es una colección de objetos (no necesariamente un conjunto) y por cada dos objetos de $A, B$ hay un conjunto de Hom($A$,$B$) que son todos los morfismos (flechas) entre los dos objetos.
Yo estaba bien con esto hasta que mi profesor mencionó que no podemos tener una categoría de categorías. Dijo que sin duda podría vistazo a la colección de todas las categorías, pero dado dos categorías de los functors entre ellos no pueden formar un conjunto violando nuestra definición. Así que esto es donde mi confusión es. Entiendo que no todas las colecciones pueden ser conjuntos, es decir, en general la teoría de conjuntos no podemos tener un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos (de la Paradoja de Russell). Pero no acabo de ver lo que está mal con el hecho de tener un conjunto de todos los functors entre las categorías.
Soy bien consciente de que hay cosas llamadas categorías Superiores que permiten que mi Hom espacio de una categoría en su propio derecho, y esto me permitiría formar una categoría superior de las categorías o algo así (no estoy muy familiarizado con este tema, pero también no es lo que yo estoy pidiendo en este momento).
Así que si es posible me encantaría un ejemplo (o una explicación de) dos categorías en las que la colección de functors entre ellos no puede ser un conjunto. Hablé con mi profesor sobre él, pero él casi lo mismo que dijo que puede conducir a paradojas, pero no veo cómo.
Cualquier ayuda es muy apreciada, Gracias
