¿Cómo puedo demostrar que el producto puntual de dos funciones del núcleo es una función del núcleo?
¿Cómo sabes que el espacio de Hilbert de la característica es finito-dimensional? ¿No podría ser incluso no separable?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Por producto puntual, supongo que te refieres a que si $k_1(x,y), k_2(x,y)$ son ambas funciones kernel válidas, entonces su producto
\begin {alinear} k_{p}( x, y) = k_1( x, y) k_2(x,y) \end {align}
también es una función de núcleo válida.
Demostrar esta propiedad es bastante sencillo cuando invocamos el teorema de Mercer. Dado que $k_1, k_2$ son núcleos válidos, sabemos (a través de Mercer) que deben admitir una representación del producto interior. Sea $a$ denotan el vector de características de $k_1$ y $b$ denotan lo mismo para $k_2$ .
\begin {alinear} k_1(x,y) = a(x)^T a(y), \qquad a( z ) = [a_1(z), a_2(z), \ldots a_M(z)] \\ k_2(x,y) = b(x)^T b(y), \qquad b( z ) = [b_1(z), b_2(z), \ldots b_N(z)] \end {align}
Así que $a$ es una función que produce un $M$ -y el vector $b$ produce un $N$ -dim vector.
A continuación, escribimos el producto en términos de $a$ y $b$ y realizar una reagrupación.
\begin {align} k_{p}(x,y) &= k_1(x,y) k_2(x,y) \\ &= \Big ( \sum_ {m=1}^M a_m(x) a_m(y) \Big ) \Big ( \sum_ {n=1}^N b_n(x) b_n(y) \Big ) \\ &= \sum_ {m=1}^M \sum_ {n=1}^N [ a_m(x) b_n(x) ] [a_m(y) b_n(y)] \\ &= \sum_ {m=1}^M \sum_ {n=1}^N c_{mn}( x ) c_{mn}( y ) \\ &= c(x)^T c(y) \end {align}
donde $c(z)$ es un $M \cdot N$ -vector de dimensiones, s.t. $c_{mn}(z) = a_m(z) b_n(z)$ .
Ahora, como podemos escribir $k_p(x,y)$ como un producto interno utilizando el mapa de características $c$ Sabemos que $k_p$ es un núcleo válido (a través del teorema de Mercer). Eso es todo.
@ViktorGlombik esta es una conclusión válida, pero debería tener una frase de explicación. $k_p$ al ser representable como el producto interior de dos vectores significa, obviamente, que las propiedades del producto interior se trasladan al núcleo $k_p$ . El producto interior es por definición simétrico y semidefinido positivo, por lo que también lo es $k_p$ .
PhilipG
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11
Zarathustra
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30
Supongamos que $K1$ y $K2$ son la matriz del núcleo de estos dos núcleos $k_1(x,y)$ y $k_2(x,y)$ respectivamente, y son PSD. Definimos $k(x,y) = k_1(x,y)k_2(x,y)$ y queremos demostrar que también es un núcleo. Esto es equivalente a demostrar su correspondiente matriz de núcleo $K = K1 \circ K2$ es PSD.
- $K_3 = K1 \otimes K2$ es un PSD (El producto kronecker de dos PSD es PSD).
- $K$ es una submatriz principal de $K_3$ y por lo tanto es PSD (La submatriz principal de PSD es PSD).
