Tengo una bolsa con 3 monedas. Una de ellas es una moneda justa, pero las otras son monedas trucadas sesgadas.

Question

Al lanzarlas, las tres monedas salen caras con una probabilidad de 0,5, 0,3 y 0,6 respectivamente. Supongamos que elijo una de estas tres monedas totalmente al azar y la lanzo tres veces. 1. ¿Cuál es P(HTT)? (es decir, sale cara en la primera tirada y cruz en las dos últimas). 2.Suponiendo que los tres lanzamientos, en orden, son HTT, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda que he elegido sea la justa? No es necesario reducir las fracciones

Trabajo: 1. ((.5*.5)/(.5*.5))/3 + ((.3*.5)/(.7*.5))/3+ ((.6*.5)/(.4*.5))/3 - Creo que esto está mal 2. No sé cómo hacer

Answer 1

P(HHT) para cada moneda.

Moneda 1 $P_1 = 0.5^3$

Moneda 2 $P_2 = 0.3\cdot 0.7^2$

Moneda 3 $P_2 = 0.6\cdot 0.4^2$

$P(HTT) = \frac 13 P_1 + \frac 13P_2 +\frac 13P_3$

$P(coin1|HHT) = \frac {P_1}{P_1+P_2+P_3}$

Answer 2

Para establecer la regla de Bayes, piense primero de la siguiente manera: AVERIGUE una moneda. Ahora mira la probabilidad de éxito.

Supongamos que una moneda tiene la probabilidad $p$ de las cabezas que vienen. A partir de la independencia de los lanzamientos sucesivos, concluimos que la probabilidad de que los tres primeros lanzamientos sean como $HTT$ es $p(1-p)^2$ .

Ahora, tienes tres de esas monedas, con $p=0.6,0.5,0.3$ . Así que podemos calcular la probabilidad de que , cada uno sea FIJO, las tres primeras tiradas se parecen a HTT, y éstas son (fáciles de ver) respectivamente $0.096,0.125,0.147$ .

Ahora, una de estas monedas se elige uniformemente al azar. Entonces, llamemos a las monedas como moneda $1,2,3$ en el orden $p=0.6,0.5,0.3$ .

Ahora bien, la regla de Bayes diría básicamente lo siguiente: la probabilidad de que te toque HTT es la suma de lo siguiente:

1) La probabilidad de que elija la moneda $1$ y viene HTT.

2) La probabilidad de que elija la moneda $2$ y viene HTT.

3) La probabilidad de que elija la moneda $3$ y viene HTT.

¿Qué es esto? Bueno, la elección es independiente del volteo, y es uniforme, por lo tanto tenemos que la probabilidad de que cada uno sea elegido es $\frac 13$ . Finalmente, la respuesta completa es $\frac{0.096+0.125+0.147}{3} = \frac{46}{375}$ .

Ahora, la segunda pregunta es la siguiente: dado que el HTT ha ocurrido, ¿cuál es la probabilidad de que hayamos elegido la moneda $2$ . Pero entonces, la moneda $2$ es sólo un caso $2$ anterior, que no es más que la probabilidad de que con la segunda moneda fija, obtengamos HTT.

Así que la respuesta es sólo la probabilidad de obtener HTT con moneda $2$ dividido por la probabilidad de obtener HTT con cualquiera de ellos(pero aquí no hay que elegir, por lo que no necesitamos multiplicar por $\frac 13$ ). El numerador es entonces sólo $0.125 = \frac 18$ mientras que el denominador es $\frac {46 \times 3}{375}$ . Ahora, puedes simplificar y conseguir $\frac{375}{1104}$ .

Answer 3

Primero: $$\frac13\cdot \frac18+\frac13\cdot 0.3\cdot 0.7^2+\frac13\cdot 0.6\cdot 0.4^2=0.122667.$$ Segundo: $$\frac{\frac13\cdot \frac18}{0.122667}=\frac{0.041667}{0.122667}=0.3397.$$