Demuestre que$x^2+x+1$ es irreducible sobre$GF(2^n)$ para cada% impar $n$.

Question

Estoy tratando de demostrar que$x^2+x+1$ es irreducible sobre$GF(2^n)$ para cada impar$n$.

Claramente es cierto para$n=1$ desde entonces$GF(2) = \mathbb{Z}_2$.

Creo que la idea es asumir que$u$ es una raíz de$x^2+x+1$ y luego calcular$[GF(p^n)(u):GF(p^n)]$. Pero estoy teniendo problemas para hacer eso.

Answer 1

Observe que si$x^2+x+1$ tiene raíces en un campo$F$, entonces son raíces cúbicas de la unidad, es decir, son elementos de orden$3$ en el grupo multiplicativo$F^\times$. También recuerde que$\mathbb{F}_{p^n}^\times$ es un grupo cíclico de tamaño$p^n-1$.

¿Cuándo el grupo cíclico$\mathbb{F}_{2^n}^\times$ tiene un elemento de orden$3$?