Probando$\gcd((a+b)^m,(a-b)^m)\le2^m$ para el coprime$a,b$ y$m \in \Bbb N$

Question

Si$a$ y$b$ son dos enteros coprime, entonces demuestre que$\gcd((a+b)^m, (a-b)^m) \leq 2^m$

Mi intento:

Tomé dos casos, primero uno en el que a y b son impares, entonces muy claramente el gcd será 2 ^ m, pero estoy atascado en el segundo caso en el que uno de los enteros es par y el otro es impar. No donde intenté todo, incluso la expansión binomial pero estoy atascado.

Answer 1

Deje $p$ ser un primo que divide tanto a $(a+b)^m$ e $(a-b)^m$. A continuación, $p$ divide $a+b$ e $a-b$. Por lo $p$ divide la suma y la diferencia, es decir, $2a$ e $2b$. Desde $a$ e $b$ son relativamente primos, obtenemos $p=2$.

Ahora vamos a $2^k$ ser el más alto poder de $2$ que divide $a+b$, e $2^l$ ser el más alto poder de $2$ que divide $a-b$. Deje $e$ es el mínimo de $k$ e $l$.

A continuación, $2^e$ divide $2a$, e $2^e$ divide $2b$. Desde $a$ e $b$ son relativamente primos, tenemos $e\le 1$.

Si $a$ e $b$ tienen diferentes paridades, a continuación, $2$ no divide $a+b$, lo $e=0$.

Supongamos ahora que $a$ e $b$ son ambos impares. A continuación, para uno de ellos, el de mayor potencia de que divide a es $2$, y para el otro es $\gt 2$. De ello se desprende que el mcd de $(a+b)^m$ e $(a-b)^m$ es $2^m$.

Llegamos a la conclusión de que en el hecho de que el mcd es $1$ o $2^m$.