¿Cómo podemos asegurarnos de que la línea formada en un plano cartesiano por una ecuación lineal sea siempre recta?

Question

Quiero decir, que cuando hablamos de ecuaciones lineales, podemos decir que ellos siempre forman una línea recta en una gráfica. Hacemos esta seguro de que por hacer un gráfico de algunas de las posibles soluciones a la ecuación y el trazado de los puntos en el gráfico. Pero podemos asegurarnos de que todas las soluciones de la ecuación lineal siempre se forma una línea recta porque no podemos parcela de todas y cada una de las soluciones de la ecuación en el gráfico debido a que existen infinidad de soluciones para una ecuación lineal en la $2$ variables?

Answer 1

Como ustedes podrán ver que han pedido una profunda pregunta.

Una ecuación lineal $$ax+by=c\tag{1}$$ with $(a,b)$ assumed $\ne(0,0)$ define un conjunto de soluciones de $$L:=\bigl\{(x,y)\in{\mathbb R}^2\bigm| ax+by+c\bigr\}\ .\tag{2}$$ Si, por ejemplo, $b\ne0$ entonces podemos solucionar $(1)$ para $y$ y obtener un $y={1\over b}(c-ax)$, el cual $x\in{\mathbb R}$ puede ser arbitraria. De esta manera, el implícito descripción $(2)$ de $L$ puede ser sustituida por la presentación explícita $$L=\left\{{\bf z}\in{\mathbb R}^2\biggm|{\bf z}=\left(x,{1\over b}(c-ax)\right), \ x\in{\mathbb R}\right\}\ ,$$ que produce para cada $x\in{\mathbb R}$ un punto de ${\bf z}\in L$ en un bijective manera.

¿Dónde están las "líneas rectas" aquí? La respuesta es simple: no Se ha definido lo que entendemos por una "línea recta". Algunas personas podrían decir: Una línea recta es un conjunto $L\subset{\mathbb R}^2$ definido por una ecuación de tipo $(2)$. Pero tal vez usted está más en casa en "elementales de la geometría Euclidiana". En este caso hay un largo camino de "líneas rectas" a ecuaciones lineales.

Answer 2

Una forma de ver esto es considerar la pendiente de una recta. Esta es una medida de la inclinación de la línea. Puede ser definido tomando dos puntos en la línea $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ y el cálculo de $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$ You should convince yourself that no matter which two points you pick on a straight line, the proportion of vertical change to horizontal change is constant! Now let $(a,b)$ be a fixed point on a line with slope $m$. Let $(x,y)$ ser un punto que varía. Enchufar a nuestra fórmula de la pendiente, tenemos: $$m=\frac{y-b}{x-a}.$$ Multiplying by $(x-a)$, we get $m(x-a)=y-b,$ which is a linear equation in $x,y$. Moreover, any linear equation (except $x=k$) surge de esta manera.

Así que, para recapitular, comience con una línea recta. Tiene pendiente constante. Escriba la ecuación para la pendiente constante, y se obtiene una ecuación lineal. Cualquier ecuación lineal (excepto uno vertical, que ha undefined slope) puede ser obtenido de esta manera.