¿Qué podemos inferir acerca de la distribución de probabilidad$P(X \ge x) = {x^{- E(x)}}$

Question

Una discreta distribución de probabilidad tiene la siguiente propiedad

$$ P(X \ge x) = {x^{- E(x)}} $$

donde $x$ es un número natural positivo y $E(X)$ es el finito valor esperado de la distribución. Esta es una ley de potencia de distribución en donde el exponente resulta ser el valor esperado de la distribución.

Pregunta: estoy tratando de encontrar es que hay una interpretación de esta distribución, es decir, ¿qué significa cuando el exponente pasa a ser el valor esperado. Hay algo que es significativo o no trivial sobre dicha distribución.

Edit: Glen ha dado una respuesta numérica correcta. En realidad, antes de la publicación de esta pregunta, que yo había hecho el mismo cálculo utilizando la función zeta y obtuvo la misma respuesta única. Sin embargo, lo que yo buscaba en mi pregunta es la interpretación de esta distribución, puede ser algo así como una interpretación física si en todas las salidas. A ver de donde soy formulario, he observado esta distribución en los datos económicos. Así, mientras que zeta función proporciona un ajuste numérico, quería ver si me pueden explicar la distribución en el laico (económico) de sentido.

Nota: he hecho la misma pregunta en MSE

Answer 1

Considere la posibilidad de la expresión

$$P(X \ge k) = {k^{- \beta}},\;\; \beta>0,\;\; k \in \{1,2,3,...\}$$

Tenemos

$$P(X < k) = 1- k^{- \beta}$$

Entonces

$$P(X=1) = P(X<2) = 1- 2^{- \beta}$$ $$P(X=2) = P(X<3) - P(X=1)= 1- 3^{- \beta} - 1 + 2^{- \beta} = 2^{- \beta} - 3^{- \beta} $$

etc, lo que nos da la función de masa de probabilidad como

$$P(X=k) = k^{- \beta} - (k+1)^{- \beta}$$ y la función de distribución

$$P(X\leq k) = 1- (k+1)^{- \beta}$$

Esta es una distribución adecuada de la "familia" para todos los valores permisibles de $\beta$. Su valor esperado es

$$E(X)= \sum_{k=1}^{\infty} k\cdot \big(k^{- \beta} - (k+1)^{- \beta}\big)$$

y uno puede deducir que es la disminución en el $\beta$. Los gráficos de la pmf para tres valores distintos de $\beta$ y para los valores de la variable a a $10$ son

Como $\beta$ aumenta, la probabilidad de masa se concentra más cerca del origen, y por lo que el valor esperado se hace inferior. Vemos que todos los pmf seguir una descomposición camino reminiscencia de la distribución geométrica (que es el discreto contraparte de la distribución Exponencial), pero nuestros genéricos de la distribución cae más rápido que la Geométrica (no en la foto).

La última $\beta$ valor es el que hace ~ $E(X) = \beta$ y como se muestra en otros lugares satisface $E(X) = \zeta[E(X)]$ , la función zeta. El valor de $\zeta(3/2)$ es utilizado en la física, y el valor de $\zeta (2)$ en el de Basilea problema. Estamos en algún lugar en el medio. Gráficamente, en el caso de $E(X) = \beta$ aparentemente no tiene ninguna característica especial.