Base del producto tensorial.

Question

Vamos $V \neq \{0\}$, $W \neq \{0\}$ ser espacios vectoriales sobre un campo $K$, $F=(x_i)_{i \in I} \subset V$, $G=(y_j)_{j \in J} \subset W$ sistemas de vectores. Deje $H$ se define como $H:=(x_i \otimes y_j)_{(i,j) \in I \times J} \subset V \otimes W$.

Quiero mostrar que

a) $H$ es linealmente independientes en $V \otimes W \Leftrightarrow$ $F, G$ son linealmente independientes

b) $H$ es el sistema de generación de $V \otimes W \Leftrightarrow$ $F$ genera $V$, $G$ genera $W$

Tengo bien tanto con "$\Leftarrow$", pero estoy confundido con el "$\Rightarrow$", especialmente para el b). Tal vez esto es bastante obvio y analógica, pero ¿cómo puedo concluir que si

$v \otimes w = \sum_{i,j} \lambda_{ij} (x_i \otimes y_j)$ por cada $v \otimes w \in V \otimes W$ y algunos $\lambda_{ij} \in K$, $F$ genera $V$ e $G$ genera $W$? Es simplemente posible escribir los $\lambda_{ij}$ como un producto de algunos de los $\alpha_i, \beta_j$?

Answer 1

a) Deje que $$v = \ alpha ^ i x_i = 0, \ quad w = \ beta ^ j y_j = 0,$$ y genere el producto $$v \ otimes w = \ alpha ^ i \ beta ^ j x_i \ otimes y_j = 0.$$ Siendo$(x_i \otimes y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ linealmente independiente, entonces $$\ alpha ^ i \ beta ^ j = 0 \ quad \ forall i, j \ implica \ alpha ^ i = 0, \, \ foralli , \ quad \ beta ^ j = 0 \, \ para todos j$$ así que$(x_i)_{i\in I}$ y$(y_j)_{j\in J}$ son linealmente independientes.

Answer 2

Sugerencia : los productos tensoriales conmutan con sumas directas en cada variable.