Definiciones equivalentes de la métrica de Kähler

Question

Dos formas diferentes de definir un Kähler métrica en un complejo colector son:
1) La forma fundamental $\omega = g(J\cdot,\cdot)$ es cerrado, es decir, $d\omega=0$;
2)La complejidad de la estructura de $J$ es paralela con respecto a la de Levi-Civita de conexión de $g$ es decir $\nabla J=0$. El uso de la fórmula
$d \omega(X,Y,Z) = X \omega(Y,Z) - Y \omega(X,Z) + Z \omega(X,Y) - \omega([X,Y],Z) + \omega([X,Z],Y) - \omega([Y,Z],X)$
para el exterior derivado fácilmente se podría probar que $\nabla J = 0$ es decir $\nabla_XJY=J\nabla_YX.$

Lo que estoy tratando de entender es la razón por la $d \omega=0 \Rightarrow \nabla J =0$. Hay una prueba en Kobayashi-Nomizu vol. 2, una consecuencia de la fórmula
$4g((\nabla_X J)Y,Z) = 6 d \omega (X,JY,JZ) - 6 d \omega(X,Y,Z) + g(N(Y,Z),JX)$
pero se menciona la Nijenhuis tensor $N$.
Estoy buscando una prueba de que no uso de eso. Creo que una prueba de ello es posible mediante el uso de la Koszul fórmula para la de Levi-Civita de la conexión y la fórmula para $d \omega$ por encima sabiamente utilizado.
¿Alguien sabe una prueba de que no se menciona la $N$ explícitamente?

Answer 1

En el libro de Voisin se ofrece una prueba completa: Teoría de Hodge y Geometría algebraica compleja: Teorema 3.13 .

Answer 2

La equivalencia$\nabla J = 0 \iff d\omega =0$ es una consecuencia inmediata de las fórmulas \begin{align*} d\omega (X,Y,Z) &= \langle (\nabla_XJ)Y,Z\rangle + \langle (\nabla_YJ)Z,X\rangle + \langle (\nabla_ZJ)X,Y\rangle \\ 2\langle (\nabla_XJ)Y,Z\rangle &= d\omega (X,Y,Z) - d\omega (X,JY,JZ), \end {align *}, que son los contenidos de la Proposición 4.16 en las Conferencias de Ballmann sobre los Manifolds de Kähler .