¿Cómo puedo diferenciar un producto$a(x) b(x) c(x)$ de tres funciones?

Question

Si tengo una función$$f(x)=a(x)\cdot b(x)\cdot c(x),$ $ donde no puedo simplificar más, ¿cómo puedo diferenciarla?

Por ejemplo, ¿cómo puedo diferenciar$$f(x)=(x^2+5x+6)\cdot(e^{2x})\cdot(\cos(\pi+x))\ ?$ $

Answer 1

Sugerencia Dadas las tres funciones (diferenciables)$a, b, c$, podemos volver a escribir su producto como$$abc = (ab)c .$$ Then, applying the product rule to the factor functions $ ab$ and $ c $ da$$(abc)' = [(ab) c]' = (ab)' c + ab c' ,$ $ lo que reduce el cálculo para determinar el derivado$(ab)'$ en términos de$a$ y$b$ y sus derivados, pero este es exactamente el contenido de la regla de producto habitual que ya conoce.

Answer 2

Un truco clásico es mediante el uso de la diferenciación implícita:

Dado que

PS

Diferenciamos wrt$$\log f(x) = \log(x^2+5x+6)+2x+\log(\cos(x+\pi))$ para obtener

PS

Es decir,

PS

Answer 3

SUGERENCIA: tenemos$$f'(x)=a'(x)b(x)c(x)+a(x)b'(x)c(x)+a(x)b(x)c'(x)$$ for your example we get $$f'(x)=(2x+5)\exp(2x)\cos(\pi+x)+(x^2+5x+6)\exp(2x)2\cos(\pi+x)+(x^2+5x+6)\exp(2x)\cdot (-\sin(x+\pi))$ $