justo morir o no, de la impresora 3D

Question

Hice un dado impreso en 3D hoy, pero dependiendo del calor aplicado, puede o no ser un dado "justo" (es decir, tiene la misma posibilidad de aterrizar en cada cara).

Acabo de intentar rodarlo 150 veces. Los resultados de frecuencia salieron a:

$$ \begin{array}{c|c} \hline 1's & 21 \\ \hline 2's & 30 \\ \hline 3's & 23 \\ \hline 4's & 31 \\ \hline 5's & 21 \\ \hline 6's & 24 \\ \hline \end {array} $$

¿Cómo calculo la probabilidad de que este dado sea justo?

Answer 1

De bondad de ajuste de prueba. La computación en R. Resultados están de acuerdo con el Comentario de @Pedro.

 obs = c(21, 30, 23, 31, 21, 24)
 chisq.test(obs)

    Chi-squared test for given probabilities

 data:  obs 
 X-squared = 3.92, df = 5, p-value = 0.561

Si se observa que cuenta son las $X_i$ y se espera que cuenta son las $E = 150/6 = 25,$ A continuación, el test de la chi-cuadrado de bondad de ajuste estadístico es $Q = \sum_{i=1}^6 (X_i - E)^2/E,$ , que es aproximadamente distribuidos de la $Chisq(DF = 5).$ El valor crítico para un la prueba en el nivel de 5% 11.07. No podemos rechazar la hipótesis nula que todas las seis caras son igualmente probables debido a $Q = 3.92 < 11.07.$

Poder. Sin embargo, me pregunto si 150 rollos es suficiente. Supongamos que su morir es marcadamente sesgada, de modo que las caras 1, 2, y 3 tienen cada uno una probabilidad 5/36 y se enfrenta a 4, 5, y 6, cada uno tiene probabilidad 7/36. A continuación, el siguiente la simulación muestra que sólo alrededor de 27 en 100 pruebas con 150 rollos iba a rechazar la hipótesis de la equidad. Es decir, el poder de la bondad de ajuste de la prueba en contra de esta determinado grado de sesgo es de alrededor de 27%. Más modestamente sesgada dados de fallar la prueba a una tasa más baja.

 m = 10^5;  q = numeric(m); E = 150/6
 for(i in 1:m) {
   faces = sample(1:6, 150, repl=T, prob=c(5,5,5,7,7,7)/36)
   x = table(faces);  q[i]=sum((x-E)^2/E)}
 mean(q > qchisq(.96, 5))
 ## 0.2702

El histograma muestra los valores de $Q$ por cada 100.000 pruebas, cada una con 150 rollos de una sesgada morir. La línea vertical es el valor crítico para una prueba en el nivel de 5%. La curva de la densidad de $Chisq(5)$.

Impulsado por un comentario, me encontré con una ligera modificación de la R código que muestra El 89% de la potencia para el mismo sesgada morir como el anterior, pero con 600 rollos para la prueba. La gráfica correspondiente se muestra a continuación.

Nota: he publicado un análisis Bayesiano de datos para la cara 1 por separado.