¿Por qué eliminamos las barras de valores de abolición al realizar una integración indefinida?

Question

Digamos, por ejemplo, estamos tratando de resolver$\frac{dy}{dx}=y\cos(x)$.

Separando las variables, obtenemos:$$\int \frac{1}{y}dy=\int \cos(x) dx.$ $

Entonces$\ln|y|=\sin(x)+c \iff |y|=Ae^{\sin(x)}$ (donde$A:=e^c$), dando:

$$y=\pm Ae^{\sin(x)}$$, which is inconsistent with Wolfram Alpha's $ y = Ae ^ {\ sin (x)} $.

Ahora, sé que$A$ podría ser positivo o negativo, pero es una constante, por lo que es una cosa o la otra.

Entonces, lo que estoy preguntando es: ¿cómo puede WA justificar la eliminación de las barras de valor absoluto?

Gracias

Answer 1

$-Ae^{\sin x}$ es solo$Ae^{\sin x}$ con un$A$ diferente.

Answer 2

Usted tiene $$ |y| = A\sen x = e^Ce^{\sin x}. $$ El número de $e^C$ es necesariamente positivo si $C$ es real. Por lo tanto $$ |y|= (\text{una constante positiva}\cdot e^{\sin x}). $$

De esto se sigue que $$ y = (\text{un no-cero constante}\cdot e^{\sin x}). $$

Entonces la pregunta es ¿por qué el valor de $0$ es permitido. Usted notará que usted dividido por $y$ bastante temprano y no se puede dividir por $0$. Este método se encuentra sólo distinto de cero soluciones. Si la función en la que la constante es $0$ es una solución que se puede comprobar por separado al enchufarlo en la ecuación original.

Answer 3

Lo que escribiste no es una buena prueba (dividir por$y$: ¿significa$y\neq 0$? ¿Qué pasa con la solución$y(x)=0$?).

Una mejor:

Teorema: la solución general de la ecuación$y'(x) = a'(x)y(x)$ en el intervalo$[a,b]$ es:$$y(x) = C\exp a(x), C\in\Bbb R$ $

Prueba: considere$x\to y(x) \exp(-a(x))$ y pruebe que esto es una constante.