Resolver $f(f(x))=2x+1$ para $f$

Question

dejar $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea una función diferenciable tal que $\forall x \in \mathbb{R} : f'(x)>0 $ y $f(f(x))=2x+1$ entonces encuentra el $f(x)$

Mi intento :

$$f(f(x))=2x+1 \\ f'(x) \cdot f'(f(x))=2 \\f'(f(x))=\dfrac{2}{f'(x)}$$

¿Qué hago ahora?

Answer 1

Definir $g(x)=f(x+1)-1$ . Entonces la ecuación funcional se simplifica a $$ g(g(x))=2x $$

Desde $g(g(0))=0$ debemos tener $g(0)=0$ ; de lo contrario $g(g(x))=2x$ no se mantendría para $x=g(0)$ .

Ahora defina $h(x) = \log(g(e^x)/e^x)$ . (El logaritmo siempre existe porque $f$ se supone que es estrictamente creciente, por lo que $g(e^x)$ es positivo). Entonces la ecuación funcional se convierte en $$ h(x) + h(x+h(x)) = \log2$$ Esta ecuación implica que $h$ debe ser periódica con periodo $\log2$ -- a saber, establecer $y=x+h(x)$ tenemos $ y+h(y) = x+\log2 $ y por lo tanto $$ h(x) = \log2 - h(y) = h(y+h(y)) = h(x+\log2). $$

A partir de la definición de $h$ obtenemos $$ g'(0) = \lim_{t\to 0}\frac{g(t)-g(0)}{t-0} = \lim_{t\to 0}\frac{g(t)}t = \lim_{x\to-\infty} e^{h(x)}$$ por lo que para $g$ sea diferenciable en $0$ El último límite tiene que existir.

Ahora, sin embargo, si $h(x)$ es no la función constante $h(x)=\frac12\log2$ entonces la periodicidad junto con la ecuación funcional para $h$ significa que $h(x)$ debe tomar dos valores diferentes $y$ y $\log(2)-y$ para un negativo arbitalmente grande $x$ -- así que entonces $h(x)$ o $e^{h(x)}$ no puede tener un límite para $x\to-\infty$ .

Así, $h$ es la función constante $\frac12\log2$ lo que significa que $g(x)=\sqrt2 x$ para $x\ge 0$ . El mismo argumento, mutatis mutandis, fija $g(x)=\sqrt2 x$ para $x<0$ .

Answer 2

Resultado parcial.

Si suponemos que $f(x)=kx+n$ , donde $k>0$ desde $f'>0$ entonces obtenemos..:

$$ k^2x+n(k+1)=2x+1\;\;\;\forall x\in \mathbb{R}$$ así que $k=\sqrt{2}$ (y no $-\sqrt{2}$ ) y $n = {1\over \sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$ .

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De cualquier manera tenemos de una ecuación dada $f(2x+1) = 2f(x)+1$ En este caso, yo asumiría fuertemente que la función que he encontrado es la única.