Deje $(S_t)$ ser un Movimiento Browniano geométrico, es decir,$S_t = S_0 e^{\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+ \sigma W_t }$. Deje $\alpha>0$ e $\tau = \inf\{t>0 | S_t \geq \alpha\}$. Calcular $P(\tau \leq t)$.
Lo que he hecho:
Yo sé que para $X_t = W_t - \beta t$, $X_t^* = sup_{0\leq s \leq t} X_s$ y $\alpha \geq 0$
$$P(X_t^* \geq \alpha ) = 1- \Phi\left( \frac{\alpha + \beta t}{\sqrt{t}} \right) + e^{-2 \alpha \beta} \Phi\left( \frac{\beta t - \alpha}{\sqrt{t}} \right) $$ Además, sé que $P(\tau \leq t) = P(S_t^* \geq \alpha ) $. Por lo tanto yo habría empezado con $$ \log(S_t)= \log(S_0) + \left(\mu - \frac{\sigma^2}{ 2 }\right)t + \sigma W_t \geq \alpha $$ $$ W_t \geq \frac{ \log\left(\frac{\alpha}{S_0}\right) - \left(\mu - \frac{\sigma^2}{ 2 }\right)t}{\sigma} $$ Ahora yo le pondría $$\alpha^{'} = \frac{\log\left(\frac{\alpha}{S_0}\right)}{\sigma}$$ and $$\beta = -\frac{\left(\mu - \frac{\sigma^2}{ 2 }\right)}{\sigma}$$ y sería utilizar la fórmula para $P(X_t^* \geq \alpha^{'} )$ como se indicó anteriormente. Es esto correcto? No estoy seguro y me siento como que he hecho algo mal. Cualquier sugerencias o comentarios de bienvenida -gracias!
