La convergencia de $\sum\limits_{n=3}^\infty \frac1{(\log(\log n))^{\log n}}$

Question

Puedo demostrar que la suma de $\sum\limits_{n=3}^\infty \dfrac1{(\log(\log n))^{\log n}}$ converge de esta manera:

Supongo que $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $\forall n, n \ge n_0$ tenemos que $$\frac1{(\log(\log n))^{\log n}} \le \frac1{n^2}.$$

Que es $$\log(\log n))^{\log n} \ge n^2.$$

La solución de este, tengo que $n \ge e^{e^{e^2}}$. De aquí se deduce que la suma converge, como la suma de la primera $n_0 - 1$ términos es finito y la suma converge para $n \ge n_0$ por la prueba de comparación.

Esto se siente muy incómodo.

Es este un enfoque correcto? Si hay una mejor manera, podría usted por favor, muéstrame?

Gracias.

Answer 1

Utilice el hecho de que $a^b = e^{b \log a}$ dos veces para escribir $(\log \log n)^{\log n} = e^{\log n \log \log \log n} = n^{\log \log \log n}$. Este va a ser mayor que $n^2$ una vez $\log \log \log n \ge 2$, o $n \ge e^{e^{e^2}}$ como se observa.

Answer 2

La Condensación de Cauchy dice que la serie converge si $$ \begin{align} \sum_{n=2}^\infty\frac{2^n}{\log(n\log(2))^{n\log(2)}} &=\sum_{n=2}^\infty\left(\frac{e}{\log(n\log(2))}\right)^{n\log(2)}\tag{1} \end{align} $$ converge. Para $n\ge\frac{e^{2e}}{\log(2)}$, $\frac{e}{\log(n\log(2))}\le\frac12$, y por lo $(1)$ puede ser comparado con $$ \sum_{n=2}^\infty\frac1{2^{n\log(2)}}\etiqueta{2} $$ que es una serie geométrica.