Los subespacios de Sorgenfrey línea y una pregunta acerca de Lindelöf espacios

Question

1) Este es el ejemplo 5 (página 177 de Dugundji del libro). Cada subespacio de Sorgenfrey línea es separable sin embargo, no es la segunda contables. Sé cómo probar que no es segundo contable. Mi pregunta es: ¿por qué es cada subespacio de Sorgenfrey línea separables? el Sorgenfrey línea es separable, pero no metrizable, así que no veo por qué esto sigue de inmediato.

2) Es $\mathbb{R}^{\omega}$ un Lindelöf espacio? (aquí se $\omega$ significa que los números naturales). Podemos decir simplemente que $\mathbb{R}^{\omega}$ es metrizable ser el contable producto de un espacio metrizable, $\mathbb{R}$, y también separables ya que los contables producto de espacios separables es separable, entonces, tenemos un separables y espacio metrizable, así Lindelöf. Lo que es otra manera de ver esto?

Ahora sólo por diversión, lo que si tenemos en cuenta $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$. Es este Lindelöf?

Answer 1

(1) Vamos a $X \subseteq \mathbb R$. Deje $\mathcal S$ ser la topología de subespacio de que $X$ hereda como un subespacio de la línea de Sorgenfrey, y deje $\mathcal E$ ser la topología $X$ hereda de $E^1$, los reales con la topología Euclidiana. Usted sabe que $\langle X, \mathcal E \rangle$ es separable, por lo que hay una contables $D_0 \subseteq X$ es $\mathcal E$-denso en $X$. Esta $D_0$ casi $\mathcal S$-denso en $X$ así.

Para ver esto, vamos a $V = (x,y] \cap X$ (donde $x,y \in \mathbb R$ con $x<y$ ) que no sea un vacío básico conjunto abierto en $\langle X, \mathcal S \rangle$. A continuación, cualquiera de $(x,y) \cap X \ne \emptyset$, o $V = \{y\}$. $(x,y) \cap X \in \mathcal E$ - es abierto en la topología Euclidiana - lo que si es no vacío, contiene un punto de $D_0$, y por lo tanto también lo hace $V$. Sólo tenemos un problema en el segundo caso, cuando se $V = \{y\}$. Claramente un punto de $y$ es un punto aislado de $X$, por lo que debe pertenecer a cualquier subconjunto denso de $X$. Deje $D = D_0 \cup \{y \in X:y \text{ is an isolated point in }X\}$. Debe quedar claro que $D$ es denso en $\langle X, \mathcal S \rangle$, así que la única pregunta es si es contable. Este será el caso, siempre que $E = \{y \in X:y \text{ is an isolated point in }X\}$ es contable.

Para cada una de las $y \in E$ debe ser un número real $x_y<y$ tal que $(x_y,y] \cap X = \{y\}$. Considerar los intervalos $(x_y,y]$ en $\mathbb R$; es claro que debe ser de a pares distintos (de lo contrario, uno podría contener, al menos, dos puntos de $X$), por lo que cada uno debe contener un diferente número racional. Sólo hay countably muchos racionales, por lo que hay en la mayoría de los countably muchos intervalos de $(x_y,y]$ con $y \in E$, $E$ es, por tanto, en la mayoría de los contables, y $D$ es una contables $\mathcal S$-subconjunto denso de $X$.

(2) Sí, el argumento de que se le sugieren las obras. También puede utilizar los Teoremas VIII.6.2(3) y VIII.6.3 para ver que $\mathbb R^\omega$ es segundo contable y por lo tanto Lindelöf. Voy a tener que pensar un poco acerca de tu última pregunta.

Edit: Sam ya ha contestado a la pregunta y da una razón. Si usted está interesado en los detalles, que son un poco desordenado, mira Teorema 3 en este documento por A. H. Piedra. Si usted toma su multitud innumerable $\Lambda$ a $\mathbb R$, el espacio de $T$ en que es el teorema de $(\mathbb Z^+)^\mathbb R$, y es fácil comprobar que es un subespacio cerrado de $\mathbb R^\mathbb R$. Desde la normalidad es heredado por cerrado subespacios, no-normalidad de $T$ implica la no-normalidad de $\mathbb R^\mathbb R$.