Trig integral con el seno y el coseno

Question

¿Qué tipo de fórmulas se pueden utilizar para reducir esta en algo puedo trabajar?

$$3a^2\int_{0}^{2\pi} \sin^2(\theta)\cos^4(\theta) \, d\theta$$

Answer 1

Usted podría utilizar la doble ángulo de fórmulas. Tenemos $\sin^2\theta\cos^2\theta=\frac{1}{4}\sin^2 2\theta$ e $\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1$. Por lo tanto nuestra función es $$\frac{1}{8}(\sin^2 2\theta \cos 2\theta+\sin^2 2\theta).$$

Para integrar a $\frac{1}{8}\sin^2 2\theta \cos 2\theta$, podemos dejar que la $u=\sin 2\theta$. La integral definida se $0$. Queda por encontrar $$\int_0^{2\pi}\frac{1}{8}\sin^2 2\theta\,d\theta,$$ que te queda por hacer.

Answer 2

Un tipo menos común es la utilización de fórmulas de Euler:

$$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$ $$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

Su integrando se convierte en:

$$\bigg(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\bigg)^2\bigg(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\bigg)^4$$

Después de hacer el exponentations y las multiplicaciones te dejan con

$$\frac{1}{64}e^{-2ix}+\frac{1}{64}e^{2ix}-\frac{1}{32}e^{-4ix}-\frac{1}{32}e^{4ix}-\frac{1}{64}e^{-6ix}-\frac{1}{64}e^{6ix}+\frac{1}{16}$$

Ahora puede volver a senos y cosenos:

$$\frac{1}{32}(\cos{2x}-2\cos{4x}-\cos{6x}+2)$$

La última expresión es muy fácil de integrar

Answer 3

Otro enfoque:

Considere la función Beta $$ \text{B}(x,y)=2\int_0^{\Large\frac\pi2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\ d\theta=\frac{\Gamma(x)\cdot\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}. $$ Reescribir $$ 3a^2\int_{0}^{\large2\pi} \sin^2\theta\cos^4\theta \, d\theta=12a^2\int_0^{\Large\frac\pi2}\sin^2\theta\cos^4\theta\ d\theta, $$ entonces $$ 3a^2\int_{0}^{\large2\pi} \sin^2\theta\cos^4\theta \, d\theta=6a^2\cdot\frac{\Gamma\left(\dfrac32\right)\cdot\Gamma\left(\dfrac52\right)}{\Gamma\left(4\right)}=6a^2\cdot\frac{\dfrac38\cdot\Gamma^2\left(\dfrac12\right)}{3!}=\large\color{blue}{\frac{3}{8}\pi^2}, $$ donde $\Gamma(n+1)=n\cdot\Gamma(n)$ e $\Gamma\left(\dfrac12\right)=\sqrt\pi$.

Answer 4

Sugerencia : \begin{align} 3a^2\int_{0}^{2\pi} \sin^2(\theta)\cos^4(\theta) \, d\theta&=3a^2\int_{0}^{2\pi} (1-\cos^2(\theta))\cos^4(\theta) \, d\theta\\ &=3a^2\int_{0}^{2\pi} \cos^4(\theta) \, d\theta-3a^2\int_{0}^{2\pi} \cos^6(\theta) \, d\theta\\ \end{align} Uso de la integración de la fórmula de reducción y evaluar primero $\displaystyle3a^2\int_{0}^{2\pi} \cos^6(\theta) \, d\theta$, entonces el resultado se combina con el de $\displaystyle3a^2\int_{0}^{2\pi} \cos^4(\theta) \, d\theta$.