Con qué frecuencia voy a perder este juego?

Question

Espero que esta pregunta se adapte al sitio, si no siéntase libre de bandera.

En el lugar en el que yo vivo no es un simple juego de cartas que jugar en su propio. Las tarjetas son de 40, digamos A1,..., A10, B1 ... B10 , C1 ... C10 , D1 ... D 10. El juego va como sigue:

1. Deseche todos los 40 cartas sobre la mesa, con la cara hacia abajo. Tienes que crear una matriz de 4 × 10, como en la figura siguiente. Mentalmente, de asignar a cada fila a un tipo (a, B, C o D) y cada columna a un número (1...10).

   cols:   _ 1 _ 2 _ 3 _ 4 _ 5 _ 6 _ 7 _ 8 _ 9 _ 10
   row A |
   row B |    HERE YOU HAVE THE 40 CARDS FACE-DOWN
   row C |
   row D |      X
   

2. Tenga en cuenta que cada tarjeta, como el que he comprobado con un X, además de tener su valor (que no se puede ver porque es hacia abajo) está estrictamente conectado con otra tarjeta a través de su posición: X puede identificar el valor D2 con su posición.

3. Elige una carta al azar, digamos X.

4. Se da la vuelta y ver su valor real, digamos B7.

5. Usted se mueve a la posición B7 y voltear la tarjeta, Y.

   cols:   _ 1 _ 2 _ 3 _ 4 _ 5 _ 6 _ 7 _ 8 _ 9 _ 10
   row A |
   row B |                           Y
   row C |
   row D |      B7
   

6. Así sucesivamente.

Usted gana si te las arreglas para voltear todas las cartas. Usted pierde si en algún momento el valor de la tarjeta que acaba de volteado, se apunta a una posición que ya está activado. Por ejemplo, usted perderá inmediatamente si Y valor D2 (que pasa).

¿Cuál es la probabilidad de que uno va a perder?

Esta es, probablemente, una pregunta se podría resolver con sólo algunas nociones básicas, pero no tengo ninguna.

Answer 1

Podemos ignorar las filas y de columnas, y acaba de decir que usted tiene 40 posiciones y 40 tarjetas de cada punto a una posición específica.

Para el primer sorteo, tiene 40 cartas, pero sólo 1 tarjeta va a hacer que usted pierde el juego (la tarjeta que apunta a la posición que usted eligió). Esto le da una probabilidad de 39/40 para pasar a la siguiente ronda.

En el segundo sorteo, tienes 39 cartas para elegir, y aún así sólo 1 tarjeta que te hará perder, ya que la tarjeta que apunta a la segunda posición es eliminado de la cubierta. La única perder la tarjeta es la que señala a su posición original. Esto le da una probabilidad de 38/39 para continuar.

Esto le da la siguiente fórmula:

39/40 * 38/39 * 37/38 * 36/37 * 35/36 * 34/35 * 33/34 * 32/33 * 31/32 * 30/31     * 29/30 * 28/29 * 27/28 * 26/27 * 25/26 * 24/25 * 23/24 * 22/23 * 21/22 * 20/21 * 19/20 * 18/19 * 17/18 * 16/17 * 15/16 * 14/15 * 13/14 * 12/13 * 11/12 * 10/11 * 9/10 * 8/9 * 7/8 * 6/7 * 5/6 * 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2

[1] 0.025

Por lo que la probabilidad de ganar es de 2.5%

Vamos a intentar esto en una simulación a partir de R (se necesita el código fuente con el fin de que se ejecute):

set.seed(1)
card.game <- function() {
  cards <- sample(1:40)
  pos <- seq(1:40)
  result <- NA
  for (i in 1:40) {
    if (i == 1) {
      current.pos <- sample(pos, 1)
      pos <- pos[which(pos!=current.pos)]
      continue <- length(which(pos==cards[current.pos]))
      if (continue == 0) {
        result <- 0
        return(result)
      }
    } else {
      if (i == 40) {
        result <- 1
        return(result)
      }
      current.pos <- cards[current.pos]
      pos <- pos[which(pos!=current.pos)]
      continue <- length(which(pos==cards[current.pos]))
      if (continue == 0) {
        result <- 0
        return(result)
      }
    }
  }
}
result <- NA
for (i in 1:100000) {
  result[i] <- card.game()
}
prop.table(table(result))

result
      0       1 
0.97494 0.02506 

Y el resultado, como se puede ver, está muy cerca de 2.5%, lo que confirma los cálculos anteriores.

Answer 2

Como @Jonas señaló, en todo el juego solo hay uno perder la tarjeta, y es el que elige en primer lugar. Si alguna vez la flip, se pierde, y si que es la última carta que le da la vuelta, usted gana.

A continuación, un enfoque más simple a la pregunta puede ser la interpretación de el juego de esta manera:

• el nombre a una tarjeta;
• shuffle su 40 mazo de cartas;
• usted gana si la tarjeta de llamada es el último en la cubierta (o la primera, de manera equivalente).

Desde esta perspectiva es claro que la probabilidad de que vas a ganar es la probabilidad de que ciertos tarjeta de ocupar una determinada posición, que es claramente 1/40 = 0.025.

Entonces, para responder a mi pregunta, usted va a perder con p = 0.975.