Encontrar una norma de operador de forma l1 a l1

Question

Tengo un operador $A: \ell_1 \to \ell_1, Ax = (x_1+x_2, x_1-x_2, x_3,...,x_k,...)$

AFAIK, norma de $\ell_1$ es $\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|$

Cómo encontrar una norma de este operador?

Answer 1

Sugerencia

\begin{align*} \newcommand{\norm}[1]{\left\| #1 \right\|_1} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \left\| A \right\| &= \sup_{x \in \ell^1} \frac{\norm{Ax}}{\norm{x}} \\ &= \sup_{x \in \ell^1} \frac{\abs{x_1 + x_2} + \abs{x_1 - x_2} + \displaystyle \sum_{i=3}^ \infty |x_i|} {\abs{x_1} + \abs{x_2} + \displaystyle \sum_{i=3}^\infty |x_i|} \\ &= \sup_{x, y, z \in \mathbb{R}} \frac{\abs{x + y} + \abs{x - y} + \abs{z}} {\abs{x} + \abs{y} + \abs{z}} \end{align*}

Además Sugerencia

El triángulo de la desigualdad: $|x + y| + |x - y| \le 2|x| + 2|y|$

Ahora intente $x, y, z = 1, 0, 0$.