Son las inversas de las matrices siempre tridiagonal?

Question

Mientras putzing alrededor con las capacidades de álgebra lineal de mi entorno informático, me di cuenta de que los inversos de las $n\times n$ matrices $\mathbf M$ asociado con una secuencia $a_i$, $i=1\dots n$ con $m_{ij}=a_{\max(i,j)}$, que toman la forma

$$\mathbf M=\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\\a_2&a_2&\cdots&a_n\\\vdots&\vdots&\ddots&a_n\\a_n&a_n&a_n&a_n\end{pmatrix}$$

(es decir, constante a lo largo de "hacia atrás" L " de las secciones de la matriz) son tridiagonal. (No tengo idea de si hay un nombre especial para estas matrices, por lo que si ya han sido estudiados en la literatura, me encantaría oír acerca de las referencias.) Cómo puedo probar que los inversos de estas matrices son de hecho tridiagonal?

Answer 1

Deje $B_j$ ser $n\times n$ matriz con $1$s en la parte superior de la mano izquierda $j\times j$ bloque y ceros en otros lugares. El espacio de $L$-en forma de matrices que le interesa es atravesado por $B_1,B_2,\dots,B_n$. Me dicen que si $b_1,\dots,b_n$ son no-cero escalares, entonces la inversa de $$ M=b_1B_1+b_2B_2+\dots + b_nB_n$$ is then the symmetric tridiagonal matrix $$N=c_1C_1+c_2C_2+\dots+c_nC_n$$ where $c_j=b_j^{-1}$ and $C_j$ is the matrix with zero entries except for a block matrix $\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$ placed along the diagonal of $C_j$ in the $j$th and $j+1$th rows and columns, if $j<n$, and $C_n$ is the matrix with a single non-zero entry, $1$ in the $(n,n)$ position. The point is that $C_jB_k=0$ if $j\ne k$, and $C_jB_j$ is a matrix with at most two non-zero rows: the $j$th row is $(1,1,\dots,1,0,0,\dots)$, with $j$ ones, and if $j<n$ then the $j+1$th row is the negation of the $j$th row. So $NM=C_1B_1+\dots+C_nB_n=I$, so $N=M^{-1}$.

Si uno de los $b_j$s'es cero, entonces se $M$ a no es invertible, ya que es arbitrariamente cerca de matrices cuyos inversos arbitrariamente grandes entradas.

Adición: se llaman de tipo D matrices, y de hecho la inversa de cualquier irreductible nonsingular tridiagonal simétrica matriz es la entrywise producto de un tipo D de la matriz y un "volteado" tipo D de la matriz de empezar el patrón en la esquina inferior derecha en lugar de la esquina superior izquierda). También hay una variante de este resultado de la caracterización de la inversa de arbitrario tridiagonal de las matrices. Esto se menciona en la introducción de este documento por Reinhard Nabben.