Atascado en el paso crucial, mientras que el cálculo de $\int_{- \infty}^{\infty} e^{-t^2}dt$

Question

Esto es un no obligatorio ejercicio estoy luchando con la de mi Análisis de Clase II, al final de lo que me suponía para calcular $$\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}dt \tag{*}$$ El más famoso manera de hacerlo es cambiar a coordenadas polares , pero no debo hacerlo de esa manera, uno de mis tutores incluso la calificó de un "truco sucio'.

En lugar de que el ejercicio nos da los siguientes dos Integrales para trabajar con:

$$F(x)= \int_0^1 \frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt \text{ and } G(x)= \left( \int_0^x e^{-t^2}dt\right)^2, \ \forall x \in \mathbb{R} $$

Yo todavía no veo cómo estas dos integrales se relacionan con ( * ), pero me puede, ingenuamente, siga las instrucciones dadas por el ejercicio de la hoja y la esperanza de que el resultado va a seguir:

Problema: Demostrar que $F,G$ son de Clase $C^1(\mathbb{R})$, calcula el $F',G'$ todos los $x \in \mathbb{R}$ y muestran que $F+G$ es constante

Mi enfoque: no Hay mucho que hacer realmente, en lugar de citar algunos de los Lemas, claramente la integral paramétrica $F$ es de clase $C^1$ porque $f(x,t): \mathbb{R} \times [0,1] \to \mathbb{R}$ $f(x,t)=e^{-x^2(1+t^2)}/(1+t^2)$ es de clase $C^1$, por tanto, puedo cambiar la derivada parcial con la integral y obtener ese $$F'(x) =-2 x \int_0^1e^{-x^2(1+t^2)}dt$$, dudo que puede simplificar aún más esta integral.

Con un poco de ayuda del teorema fundamental del Cálculo se obtiene que el $$G'(x)= 2 \left( \int_0^x e^{-t^2}dt\right)e^{-x^2} $$

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En este punto, espero que el ejercicio (o mi cálculo) es errónea, al menos, el límite de puntos de las integrales porque no saben cómo mostrar que $F'+G'=0$ todos los $x\in \mathbb{R}$ a la conclusión de que la $F+G$ es constante.

El único sentido que yo pudiera hacer de la $F'$ sería si yo integrada con respecto a $x$ sino $t$. Hay más simplificaciones que puedo hacer?

Answer 1

$$F(x) = \int_0^1 dt \frac{e^{-x^2 (1+t^2)}}{1+t^2} \implies F'(x) = -2 x e^{-x^2} \int_0^1 dt \, e^{-x^2 t^2} $$

$$G(x) = \left ( \int_0^x dt \, e^{-t^2} \right )^2 = x^2 \left ( \int_0^1 dt \, e^{-x^2 t^2} \right )^2 \\ \implies G'(x) = 2 x \left ( \int_0^1 dt \, e^{-x^2 t^2} \right ) \left [\int_0^1 dt \, e^{-x^2 t^2} - 2 x^2 \int_0^1 dt \,t^2 e^{-x^2 t^2} \right ]$$

Entonces

$$F'(x) + G'(x) = 2 x \left ( \int_0^1 dt \, e^{-x^2 t^2} \right )\left [-\int_0^1 dt \, e^{-x^2 t^2} + \int_0^1 dt \,(1-2 x^2 t^2) e^{-x^2 t^2} \right ] $$

A continuación, tenga en cuenta que

$$(1-2 x^2 t^2) e^{-x^2 t^2} = \frac{d}{dt} \left ( t e^{-x^2 t^2} \right )$$

y usted encontrará que $F'(x) + G'(x) = 0$ de forma idéntica. Por lo tanto $F(x) = G(x)$ es igual a una constante, decir $F(0)+G(0)$, que es

$$\int_0^1 \frac{dt}{1+t^2} = \frac{\pi}{4} $$

Ahora toma el límite de $x \to \infty$, en el que el límite de $F(x) \to 0$ y por lo tanto

$$\lim_{x \to \infty} \left ( \int_0^x dt \, e^{-t^2} \right )^2 = \left ( \int_0^{\infty} dt \, e^{-t^2} \right )^2 = \frac{\pi}{4} $$

Answer 2

Sugerencia: En su expresión para $F'$, intentar escribir $x^2 (1+t^2)$$x^2 + (xt)^2$, el uso de la ley de $e^{a+b} = e^a e^b$, mueva el término constante (que no depende de la $t$) fuera de la integral, y el cambio de variables con $s = xt$.

Answer 3

Otro "truco sucio" para evaluar esta integral, pero sin el uso de coordenadas polares, sería el siguiente. Una vez que usted acepta el uso del Teorema de Fubini --- supongo que esto es en realidad el truco sucio que su tutor quiere evitar! --- para llegar a $$(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx)^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^\infty e^{-( x^2+y^2)}dxdy=:V,$$ se puede proceder de la siguiente manera. La integral doble en el lado derecho mide el volumen finito $V$ de los (infinitos) cuerpo de $\mathbb{R}^3$ que se extiende entre la $x$-$y$-plano y la gráfica de la función $(x,y)\mapsto e^{-(x^2+y^2)}$. Sin embargo, el último de la superficie puede ser visto como siendo obtenido por la rotación alrededor del $z$-eje de la gráfica de la función $$[0,\infty)\to(0,1],\qquad x\mapsto z=e^{-x^2}.$$ Viewed as a function of $z$ this is just the graph of the function $$(0,1]\to [0,\infty),\quad z\mapsto x=\sqrt{-\log(z)}, $$ still being rotated around the $z$-eje. Por lo tanto el volumen de $V$ puede ser calculado como el volumen de un cuerpo obtenido por la rotación de una función gráfica de todo el $z$-eje se calcula:
$$V=\int_0^1x^2\pi dz=-\pi\int_0^1\log( z) dz=-\pi[z\log(z)-z]_0^1=\pi.$$ (Omito el detalle de que en esta integral del límite inferior $0$ tiene que ser repalced por $\epsilon > 0$ y, a continuación, dejando $\epsilon$ tienden a $0$.)