En primer lugar, tenga en cuenta que si usted está interesado sólo en lo que el diferencial de $D f$es
(y no en si $f$ es diferenciable para empezar),
a continuación, la norma en $E$ es indiferente.
De hecho, usted tiene
$$
D f (x_0) v
= \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t v) - f(x_0)}{t} \, ,
$$
que es un límite en $F$, totalmente independiente de la topología en $E$.
A continuación, vamos a ver que si $\|\cdot\|$ e $|\cdot|$ son dos normas en $F$
tal que $F$ está completo para cualquiera de las dos normas
y de tal manera que las dos normas son no equivalente, entonces no es una función
$g : (-1,1) \to F$ tal que $g$ es diferenciable en $0$ para ambas opciones de la norma,
pero con diferentes diferenciales.
Para mayor brevedad, vamos a escribir $F_1$ para el espacio vectorial $F$ equipado con la norma $\|\cdot\|$,
y $F_2$ para el espacio vectorial $F$ equipado con la norma $|\cdot|$.
El siguiente lema será crucial:
Lema. Hay una secuencia $(x_n)_n$ en $F$ e $x,y \in F$ con $x \neq y$
tal que $\|x_n - x\| \to 0$ e $|x_n - y| \to 0$.
Prueba. Asumen ante la contradicción de que la reclamación se produce un error.
Considere el operador lineal
$$
T : F_1 \a F_2, x \mapsto x \, .
$$
Yo reclamo que $T$ ha cerrado gráfico.
De hecho, vamos a $(x_n, y_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathrm{graph}(T) \subset F_1 \times F_2$
ser una secuencia en la gráfica de $T$, con $(x_n, y_n) \to (x,y) \in F_1 \times F_2$.
Desde $(x_n, y_n) \in \mathrm{graph}(T)$, tenemos $x_n = y_n$ para todos los $n \in \mathbb{N}$,
y por lo tanto $\|x_n - x\| \to 0$ e $|x_n - y| = |y_n - y| \to 0$.
Puesto que suponemos que la afirmación es falsa, debemos tener $x = y$,
y por lo tanto $(x,y) \in \mathrm{graph}(T)$, como se desee.
Por el cerrado gráfico teorema, $T$ es, pues, un delimitada operador lineal.
Claramente, $T$ es bijective, de modo que $T^{-1}$ también es un operador acotado,
por la limitada inversa teorema.
Desde $T$ e $T^{-1}$ están delimitadas, las normas $\|\cdot\|$ e $|\cdot|$ son equivalentes,
contradice nuestra suposición de que no lo son.$\square$
Dada una secuencia $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ e $x,y$ proporcionada por el lema,
ahora podemos construir el mapa de $g$.
En primer lugar, definir
$$
f_1 : (-1,1) \a F_1,
t \mapsto \begin{cases}
x_{n+1} + \frac{|t| - (n+1)^{-1}}{n^{-1} - (n+1)^{-1}} \cdot (x_n - x_{n+1}),
& \text{if } |t| \in [(n+1)^{-1}, n^{-1}) \text{ for some } n \in \mathbb{N}, \\
x, & \text{if } t = 0 \, .
\end{casos}
$$
No es difícil comprobar que $f_1$ es continua (pero, de hecho, que incluso no lo necesitan).
Además, para $|t| \in [(n+1)^{-1}, n^{-1})$,
tenemos $\gamma := \frac{|t| - (n+1)^{-1}}{n^{-1} - (n+1)^{-1}} \in [0,1]$ y por lo tanto
$$
\|f_1 (t) - f_1(0)\|
= \| \gamma \cdot (x_n - x) + (1-\gamma) \cdot (x_{n+1} - x) \|
\leq \max \{ \|x_n - x,\|, \|x - x_{n+1}\| \} \, ,
$$
que va a cero, como se $t \to 0$, desde entonces $n \to \infty$.
Por lo tanto, $g_1$ es continua en $0$.
Exactamente de la misma manera, uno ve que
$$
f_2 : (-1,1) \a F_2 ,
t \mapsto \begin{cases}
x_{n+1} + \frac{|t| - (n+1)^{-1}}{n^{-1} - (n+1)^{-1}} \cdot (x_n - x_{n+1}),
& \text{if } |t| \in [(n+1)^{-1}, n^{-1}) \text{ for some } n \in \mathbb{N}, \\
y, & \text{if } t = 0
\end{casos}
$$
es continua en $0$.
Por lo tanto, si definimos $g_1 : (-1,1) \to F_1, t \mapsto t \cdot f_1 (t)$, a continuación, $g_1$ es diferenciable
en $t = 0$, con $D g_1 (0) = x$, desde
$$
\lim_{t \to 0} \frac{g_1(t) - g_1 (0)}{t}
= \lim_{t \to 0} \frac{t \cdot f_1(t)}{t}
= \lim_{t \to 0} f_1 (t)
\a f_1 (0)
= x \, ,
$$
con la convergencia de los límites en $F_1$.
Precisamente de la misma manera, podemos ver que $g_2 : (-1,1) \to F_2, t \mapsto t \cdot f_2 (t)$es
diferenciable en $0$ con $D g_2 (0) = y \neq x$.
Por último, tenga en cuenta que $g_1 (t) = g_2 (t)$ para todos los $t \in (-1,1)$;
para $t \neq 0$ esto es claro y para $t = 0$, tenemos $g_1 (0) = 0 = g_2 (0)$.$\square$
Comentario 1 Arriba, he cometido el habitual abuso de notación de la identificación de
un elemento $x \in F$ de un espacio vectorial lineal mapa de $\mathbb{R} \to F, t \mapsto t \cdot x$.
Observación 2 ligeramente la modificación de la construcción (de hecho, las cosas se ponen más fácil),
uno puede mostrar que existe una función de $g : (-1,1) \to F$
tal y como un mapa en $F_1$, $g$ es diferenciable en $0$,
pero como un mapa en $F_2$, no lo es.
