Tengo el siguiente problema:
Encontrar todos los $a_1,a_2,a_3,....,a_{10} \in\{1,2,3,...,10\}$ satisfactorio
$\hspace{2cm}\begin{align} a_1+a_2+a_3 &=k\\ a_3+a_4+a_5 &=k\\
a_5+a_6+a_7 &=k\\
a_7+a_8+a_1 &=k \\
a_1+a_9+a_5 &=k \\
a_7+a_{10}+a_3 &=k
\end{align} $
donde $k$ es una constante positiva entero.
Estoy realmente atascado en este problema de cómo resolver estos $6$ ecuaciones para encontrar los diez incógnitas.Por favor me ayude.
Gracias.
Hay 25420 soluciones para los diversos k entre 3 y 30. Definitivamente no es el más elegante, pero a mi manera es enumerar todos ellos con un programa. Siguiente es un programa en C que hace.
void enumerate() {
int k, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10;
for (k = 3; k <= 30; k++) {
for (a1 = 1; a1 <= 10; a1++)
for (a2 = 1; a2 <= 10; a2++) {
a3 = k - a2 - a1;
if (a3 > 0 && a3 <= 10)
for (a4 = 1; a4 <= 10; a4++) {
a5 = k - a3 - a4;
if (a5 > 0 && a5 <= 10)
for (a6 = 1; a6 <= 10; a6++) {
a7 = k - a5 - a6;
a8 = k - a7 - a1;
a9 = k - a5 - a1;
a10 = k - a7 - a3;
if ((a7 > 0 && a7 <= 10) && (a8 > 0 && a8 <= 10)
&& (a9 > 0 && a9 <= 10)
&& (a10 > 0 && a10 <= 10)) {
cout << "a1 " << a1 << ", a2 " << a2
<< ", a3 " << a3 << ", a4 " << a4
<< ", a5 " << a5 << ", ";
cout << "a6 " << a6 << ", a7 " << a7
<< ", a8 " << a8 << ", a9 " << a9
<< ", a10 " << a10 << ", ";
cout << "k " << k << endl;
} } } } } }
Desde que tiene diez variables (no recuento $k$) y seis ecuaciones, puede optar $10-6=4$ variables a ser su "base" de las variables, para lo cual usted puede elegir cualquier valor de y, a continuación, puede utilizar una de varias técnicas para encontrar las ecuaciones de las otras seis variables en términos de las cuatro variables de la base. Elegir valores para esas variables de la base y las ecuaciones rápidamente le dirá que los valores de la otra variable.
Por ejemplo, usted podría utilizar eliminación de variables para resolver por $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,$ e $a_6$ en términos de $a_7,a_8,a_9,a_{10},$ e $k$.
Aquí hay dos ejemplos.
Su cuarta ecuación de inmediato nos dice que
$$a_1=-a_7-a_8+k$$
La primera ecuación menos la cuarta, a continuación, menos la sexta nos dice que
$$a_2=2a_7+a_8+a_{10}-k$$
Y así sucesivamente. Si usted necesita una manera sistemática para obtener las fórmulas para el $a_3$ a través de $a_6$, el uso de Gauss-Jordan eliminación. O, háganos saber si necesita más ayuda, después de demostrar que usted ha hecho más trabajo por su cuenta.
Aquí hay más detalles.
Lo que realmente nos preocupa son las constantes y los coeficientes de las variables. Así que reescribir las ecuaciones para mostrar los coeficientes de todas las variables, incluyendo las que no están presentes en las ecuaciones. Por ejemplo, podemos reescribir la primera ecuación:
$$1\cdot a_1+1\cdot a_2+1\cdot a_3+0\cdot a_4+0\cdot a_5+0\cdot a_6+0\cdot a_7+0\cdot a_8+0\cdot a_9+0\cdot a_{10} =1\cdot k$$
Escribiendo esto muchas veces iba a ser tedioso, así que acaba de eliminar las variables y lugar de los coeficientes en una matriz ampliada. La matriz tendrá $6$ filas, una para cada ecuación, y $10$ columnas antes de que el aumento, uno para cada variable, y $1$ columna tras el aumento, por el término constante. La matriz será entonces:
$$ \left[\begin{array}{rrrrrrrrrr|r} 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 1\\ \end{array}\right] $$
Ahora usaremos lineal de eliminación para cambiar esta matriz a una forma sencilla. Queremos terminar con ecuaciones como
$$a_1=-a_7-a_8+k$$
donde la variable $a_1$ no está en ninguna otra ecuación. Esto significa que queremos que la matriz a tiene un $1$ en una entrada en la que todas las otras entradas de esa columna se $0$.
Ahora a elegir el $6$ variable que va a ser definido en términos de las variables de la base. Hay dos opciones principales. Podríamos optar por la más simple de las variables de la $10$ variables. Como Joffan señaló en su respuesta, podríamos escoger las variables para hacer el trabajo más fácil. Sin embargo, en este caso nos vamos a hacerlo de la manera "estándar" y elegir la primera de las seis variables $a_1$ a través de $a_6$ ser definido en términos de los últimos cuatro variables $a_7$ a través de $a_{10}$.
Hay varios $1$'s en la primera columna. Elegimos utilizar el cuarto de la fila a eliminar las otras filas desde su $1$ es seguido por muchos ceros. (Esta opción no era necesario, pero que nos permite hacer menos pasos.) Podemos eliminar a otro distinto de cero de la entrada en la misma columna, por ejemplo, en la n-esima fila, multiplicando la cuarta fila por un número apropiado y agregar eso a la n-esima fila. En nuestro caso, para quitar el $1$ en la primera fila de la primera entrada, multiplicamos la cuarta fila por $-1$ y añadir que a la primera fila, dejando la cuarta fila sin cambios. Hacemos lo mismo para la quinta fila a eliminar a sus líderes $1$. Que nos da la matriz
$$ \left[\begin{array}{rrrrrrrrrr|r} 0& 1& 1& 0& 0& 0&-1&-1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 1\\ (1)& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0&-1&-1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 1\\ \end{array}\right] $$
He marcado la cuarta fila de la primera entrada con paréntesis para mostrar que era el "pivote" para esta operación. Ahora sólo tenemos una $1$ en la primera y segunda columnas. Elegimos una de las $1$'s en la tercera columna para eliminar a los otros: se elige la $6$th fila por sus muchos ceros. Multiplicamos que la sexta fila por $-1$ y agregar a la primera y segunda filas, y obtenemos
$$ \left[\begin{array}{rrrrrrrrrr|r} 0& 1& 0& 0& 0& 0&-2&-1& 0&-1&-1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0&-1& 0& 0&-1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0&-1&-1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 1\\ \end{array}\right] $$
La cuarta columna tiene sólo un cero. Elegimos la quinta fila a eliminar a los demás. Multiplicando por $-1$, y añadiendo a la segunda y tercera fila nos da
$$ \left[\begin{array}{rrrrrrrrrr|r} 0& 1& 0& 0& 0& 0&-2&-1& 0&-1&-1\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1&-1&-1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 2& 1&-1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0&-1&-1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 1\\ \end{array}\right] $$
Columnas $1$ a través de $6$ ahora tienen un $1$ e los $1$'s son en filas diferentes. Que es lo que queríamos! Ahora nos reorganizar las filas para obtener una buena diagonal de $1$'s y agregar una aclaración de la línea vertical:
$$ \left[\begin{array}{rrrrrr|rrrr|r} 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0&-2&-1& 0&-1&-1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1&-1&-1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0&-1&-1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 2& 1&-1& 0& 1\\ \end{array}\right] $$
Ahora podemos interpretar la matriz. La primera fila de los medios
$$1\cdot a_1+0\cdot a_2+0\cdot a_3+0\cdot a_4+0\cdot a_5+0\cdot a_6+1\cdot a_7+1\cdot a_8+0\cdot a_9+0\cdot a_{10} =1\cdot k$$
La simplificación y la reescritura de este para definir $a_1$ en términos de los otros,
$$a_1=-a_7-a_8+k$$
Vea el patrón: La $1$ en los primeros seis columnas nos dicen que la variable en el lado izquierdo de la ecuación; invertimos el orden de las señales de las entradas en los próximos cuatro columnas y los puso en el lado derecho; la última columna es el coeficiente de $k$.
Poniendo todo esto junto, podemos obtener la solución final
$$a_1=-a_7-a_8+k$$ $$a_2=2a_7+a_8+a_{10}-k$$ $$a_3=-a_7-a_{10}+k$$ $$a_4=-a_8+a_9+a_{10}$$ $$a_5=a_7+a_8-a_9+k$$ $$a_6=-2a_7-a_8+a_9+k$$
Este procedimiento podría fallar, y me quedan algunos detalles, pero creo que se entiende la idea.
Tenga en cuenta que cada una de las ecuaciones tiene una variable libre - $a_2, a_4, a_6, a_8, a_9, a_{10}$ cada uno de ellos sólo aparecen en una ecuación.
El resto de variables, $a_1, a_3, a_5, a_7$ aparecen cada uno emparejado junto con todos los demás miembros de ese grupo, que aparecen en cada una de las tres ecuaciones.
Las posibles respuestas dependen $k$, por supuesto, pero es importante que cada emparejamiento en el segundo grupo permite que la solución con otra variable a partir de determinada intervalo numérico.
Ampliando un poco en estas observaciones, la elección de la $a_1, a_3, a_5, a_7$ lleva un número de posibles valores de $k$ (de cero a diez opciones), que determina los valores de los otros $6$ variables. Si llamamos a los valores de estas cuatro variables clave $b,c,e,f,$ con $b\le c\le e\le f$, podemos tener $(10-((f+e)-(c+b)))$ posibles valores de $k$, o cero si que es mayor. También podemos tener todos los cuatro valores de la igualdad (la única ruta a $10$ posibles valores de $k$), tres de la igualdad, dos pares iguales, una de las parejas iguales, o todos diferentes, lo que afectará el número de diferentes maneras en las que podemos asignar cualquier particular $\{b,c,e,f\}$ a $\{a_1,a_3,a_5,a_7\}$.
Si ahora nos fijamos $d_1=c-b, d_2=e-c, d_3=f-e$, la "reducción" de la parte de la $(10-((f+e)-(c+b)))$ la fórmula para cuántos posible $k$s podemos tener,
$\begin{align}((f+e)-(c+b)) &= (b+d_1+d_2+d_3+b+d_1+d_2) - (b+d_1+b)\\ &=d_1 + 2d_2+d_3 \end{align}$
Así, un "medio de diferencia", $d_2$, de $5$ o más, no nos dan los valores de $k$. $d_2=4$ permite a $1$ o $2$ posibles valores de $k$, etc.
Para cada posible patrón de $\{d_1,d_2,d_3\}$, $b$ puede tener los valores de $1$ a $(10-(d_1+d_2+d_3))$. Casos especiales para la asignación de las variables de la base son al $d_1=0$ o $d_3-0$ o ambos. Un ejemplo de no-caso especial podría ser $d_2=2$, con $d_1+d_3=4$, dando $4-1= 3$ de todos los positivos de los patrones, $4$ posibles valores de $b$, dando $3\times 4=12$ opciones a través de $(d_1,d_3,b)$ cada uno asignado $4!=24$ formas de las variables de la base con $10-(2\times2+4) = 2$ valores de $k$, para un total de $24\times 12 \times 2 = 576$ posibles soluciones a partir de este.
Así que debería ser capaz de hacer una gran mesa con bastante franqueza a partir de ahí - el número de casos de $(d_1,d_3,b,k)$ tiene algún trabajo extra dentro de ella, aunque. Aquí es lo que tengo:
$$\begin{array}{c|c|c} d_2 & \text{max }d_1+d_3 & d_1,d_3\text{ zeros} & \text{cases}(d_1,d_3,b,k) & \frac{\text{allocations}}{\text{case}} & \text{total}\\ \hline 4 & 1 & 1 & 10 & 12 & 120 \\ \hline 4 & 0 & 2 & 12 & 6 & 72 \\ \hline 3 & 3 & 0 & 18 & 24 & 432 \\ \hline 3 & 3 & 1 & 64 & 12 & 768 \\ \hline 3 & 0 & 2 & 28 & 6 & 168 \\ \hline 2 & 5 & 0 & 90 & 24 & 2160 \\ \hline 2 & 5 & 1 & 170 & 12 & 2040 \\ \hline 2 & 0 & 2 & 48 & 6 & 288 \\ \hline 1 & 7 & 0 & 252 & 24 & 6048 \\ \hline 1 & 7 & 1 & 336 & 12 & 4032 \\ \hline 1 & 0 & 2 & 72 & 6 & 432 \\ \hline 0 & 9 & 0 & 540 & 12 & 6480 \\ \hline 0 & 9 & 1 & 570 & 4 & 2280 \\ \hline 0 & 0 & 2 & 100 & 1 & 100 \\ \hline \end{array}$$
dando un total de $25420$ soluciones. Tengo que admitir que no me siento cómodo con la cantidad de secundarios ajuste de cuentas tenía que ver con la formación de los casos de columna aquí y sin la semi-fuerza bruta* confirmación de que corrí, no me gustaría estar seguro acerca de este número.
*mi confirmación en bucle a través de $a_1,a_3,a_5,a_7$ sólo y calcula el número de opciones para $k$ para cada uno de los principios más arriba.
tenemos que lidiar con dos casos: $k \neq 0$ e $k = 0$. primero voy a tratar con el caso de $k \neq 0.$ pondré $k = 1.$ una vez que encuentre una solución particular multiplicaré todos ellos por $k.$ esta es la matriz que me pongo cuando me rrefed. voy a indicar las columnas $7$ a través de $11.$ anterior $6$ columnas es $I_6$
$\pmatrix{1&1&0&0&1\\-1&-1&0&0&0\\1&0&0&1&1\\0&1&-1&-1&0\\-1&-1&1&0&0\\2&1&-1&0&1}$
las variables $a_1, a_2, \cdots, a_6$ son de pivote variables y el resto son variables libres. para un determinado conjunto de soluciones de todas las variables libres a cero. el pivote variables son entonces el negativo de la columna de $11.$ base para la solución homogénea es obtenido mediante por ejemplo, fijar la $a_7 = 1, a_8 = \cdots = a_{10} = 0$, a continuación, gire variables son entonces el negativo de la columna de $7$.
espero que le puedas sacar de aquí.
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