Si un vector $v$ es un vector propio de ambas matrices $A$ y $B$ es $v$ necesariamente un vector propio de $AB$ ?

Question

Estoy preparando mi final y esta pregunta surgió en una de las prácticas. Estoy tentada a decir que no, pero me ha costado probarlo.

Si un vector $v$ es un vector propio de ambas matrices $A$ y $B$ es $v$ necesariamente un vector propio de $AB$ ?

Answer 1

Una pista: La multiplicación de matrices es asociativa: $$AB(v)= A(Bv)$$

Answer 2

Si $v$ es un vector propio asociado al valor propio $\lambda$ de $A$ y $\mu$ de $B$ entonces $$ABv=A(Bv)=A(\mu v)=\mu Av=\mu\lambda v$$ así que $v$ es un vector propio asociado al valor propio $\mu\lambda$ de $AB$ .

Answer 3

Tenga en cuenta que $(AB)v=A(Bv)=A(\beta v)= \beta(Av)=(\beta\alpha ) v$ con $\alpha$ y $\beta$ siendo los valores propios relevantes.