Intro:
Cada función de $h:X\rightarrow Z$ induce una relación de equivalencia
$\sim_{h}$ en el conjunto de $X$. Esto $u\sim_{h}v\iff h\left(u\right)=h\left(v\right)$.
Deje $\left[x\right]_{h}$ denota la clase de equivalencia representa
por $x\in X$. A continuación,$\left[x\right]_{h}=h^{-1}\left(\left\{ h\left(x\right)\right\} \right)$.
Por el contrario si $\sim$ es algunos de equivalencia de la relación en $X$ entonces $\sim=\sim_{\nu}$
donde $\nu:X\rightarrow X/\sim$ es el mapa que envían $x$
a la clase de equivalencia que contiene a $x$.
Si $P$ denota una partición de $X$, entonces la relación $\sim$ a $X$
definido por $$u\sim v\iff u,v\text{ belong to the same element of }P$$
es una relación de equivalencia y sus clases de equivalencia son los elementos
de $P$.
En ese sentido, existe una fuerte relación entre las funciones, la equivalencia
las relaciones y las particiones.
Es una muy buena costumbre para mantener esta conexión en la mente.
Su lemma1 en esta luz.
En su primer lema que hemos $f\left(x\right)=f\left(y\right)\implies g\left(x\right)=g\left(y\right)$.
Esto a veces se expresa como: "la función $g$ respeta la función $f$".
Que significa exactamente eso $\left[x\right]_{f}\subseteq\left[x\right]_{g}$
para cada una de las $x\in X$. De hecho la partición inducida por la función $f$
es más fino que el de la partición inducida por la función $g$.
Este será el caso si y sólo si: $$g=h\circ f\text { for some function }h$$ es fácil
para demostrar que esta condición es suficiente. Por el contrario podemos prescribir
la función $h$ afirmando que $h\left(z\right):=f\left(x\right)$
al $f\left(x\right)=z$. Si no $x$ puede encontrar a continuación, para $h\left(z\right)$
podemos tomar cualquier elemento en $M$. Exactamente el hecho de que $g$ respeta
$f$ garantiza que $h$ está bien definido. Si $f$ es surjective, a continuación,
$h$ es único :para cada una de las $z\in Z$ podemos encontrar una $x$ con $z=f(x)$ e $h(z)=g(x)$.
La prescripción de $\nu:M\rightarrow M/\sim$ por $x\mapsto\left[x\right]_{\sim}$
la declaración de $\forall x\in M\left[x\sim g\left(x\right)\right]$
es el mismo que $\nu=\nu\circ g$. Combinado con $g=h\circ f$ nos encontramos con:
$\nu=\nu\circ\left(h\circ f\right)=\left(\nu\circ h\right)\circ f$.
Por lo $\nu$ respectos $f$ que significa exactamente eso $f\left(x\right)=f\left(y\right)\implies x\sim y$.
Su lemma2 en esta luz.
En primer lugar quisiera decir que su lema es bien otra vez. Definido como este tenemos $\sim=\sim_{f}$. La inyectividad de $f\upharpoonleft X$
asegura que $\left[x\right]_{f}\cap X=\left\{ x\right\} $ por cada
$x\in X$ (de modo que $x\sim y\implies x=y$ para $x,y\in X$ ). El surjectivity de $f\upharpoonleft X$ asegura que la colección de
$\left\{ \left[x\right]_{f}:x\in X\right\} $ es una partición de $M$
(de modo que $\left\{ \left[x\right]_{f}:x\in X\right\} =\left\{ \left[x\right]_{f}:x\in M\right\} $
).
Nota al margen:
Para cada $z\in Z$ hay un único, $x\in X\subseteq M$ con $f\left(x\right)=z$.
Esto nos permite definir una función de $s:Z\rightarrow M$ que envía
cada una de las $z\in Z$ a esta singular $x$. A continuación,$f\circ s=1_{Z}$. Deje $r:=s\circ f$.
A continuación, $r$ respectos $f$. Pero también tenemos $f=1_{Z}\circ f=f\circ s\circ f=f\circ r$
es decir, que por el contrario $f$ respectos $r$. Esto significa exactamente
que $\sim_{r}=\sim_{f}$. La característica de la función $r:M\rightarrow M$
es la propiedad $r\circ r=r$. Para cada partición $P$ en el conjunto de $X$
usted puede construir fácilmente una función de este tipo. En cada una de las $p\in P$ seleccione
algunos representant $x_{p}\in p$ e indican la función que indica
que los elementos de la $p\subset X$ son enviados a $x_{p}$.
