Una pregunta sobre la definición de la partición en la Integral de Riemann

Question

Estoy leyendo Bebé Rudin la definición de Integral de Riemann, donde partición $P$ está restringido a un conjunto finito de puntos. Cuando Rudin dice "donde la inf y sup se han tomado todas las particiones $P$ de % de$[a,b]$", supongo que se le suponía a decir que todos finito particiones.

Esto es algo diferente de lo que me enseñaron, donde $P$ se compone esencialmente de countably muchos "ancla" de puntos. Para una función que ha countably muchas discontinuidades (por ejemplo, una monotonía de la función), sé que es Riemann integrable porque la medida es de 0, pero no es un error si sólo finita particiones están permitidas?

He visto un poco de la discusión relacionada con: la Prueba de que una función con una contables conjunto de discontinuidades es Riemann integrable sin la noción de medida

Así que la compacidad de [a,b] en realidad implica que un número finito de partición es suficiente?

Answer 1

El último capítulo de Bebé Rudin, tercera edición, demuestra que una función es Riemann-integrable si y sólo si la medida del conjunto de sus puntos de discontinuidad es 0. Él hace que el uso de la definición que se da en su libro. Así que no será necesario considerar countably infinito particiones para que.

Answer 2

En primer lugar, la noción de "contables de particiones" en realidad es un poco difícil de definir.

Una vez que hayas definido, muestran que para cualquier contables de la partición, usted puede encontrar una secuencia finita de las particiones que se acerca a este en el límite en términos de superior e inferior de las sumas de Riemann.

Answer 3

En la teoría de la integral de Riemann en un intervalo de $[a,b]$, es completamente estándar que "particiones" de $[a,b]$ son necesariamente finita. Esto es lo que Riemann hizo por sus sumas de Riemann. Lo Rudin le da no es Riemann, de enfoque, pero un poco más simple de G. Darboux, que utiliza la parte superior e inferior de sumas y superior e inferior de las integrales: Darboux utilizado finito particiones demasiado. (Quizás siguiendo Rudin, muchas personas no distinguen entre las integrales de Riemann y de Darboux: a pesar de que se definen de manera diferente, que puede ser demostrado que el rendimiento de la misma lineal funcional, en particular con el mismo dominio de funciones integrables: aquellos que están delimitadas y con un cero medir el conjunto de discontinuidades.)

Por lo tanto tu pregunta "Son finitos particiones suficiente?" es un poco extraño de la norma perspectiva: suficiente para qué? Todos los teoremas y las pruebas de uso finito particiones.

De hecho, yo propias o de haber volteado a través de al menos una docena de textos tratamiento de la integral de Riemann, y a mi mejor recuerdo nunca he visto una "adecuada" de Riemann integral mediante countably infinito particiones. Podría incluir en su pregunta, la definición precisa que has aprendido? Es allí cualquier libro de texto que utiliza esta definición? (¿Hay ventajas de hacerlo?)