Fuerza centrífuga y coordenadas polares

Question

En Mecánica Clásica, tanto Goldstein como Taylor (autores de diferentes libros con el mismo título) hablan del término de la fuerza centrífuga al resolver la ecuación de Euler-Lagrange para el problema de los dos cuerpos, y estoy un poco confundido sobre lo que significa exactamente: ¿es una fuerza centrífuga real o una consecuencia matemática de usar coordenadas polares para resolver la ecuación de Euler-Lagrange?

Sus derivaciones del Lagrangiano $$L=\frac{1}{2}\mu(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})-U(r)$$ llevaría a una ecuación de movimiento (theta) que muestra que el momento angular es constante y una ecuación de movimiento radial mostrada como $$\mu\ddot{r}=-\frac{dU}{dr}+\mu r\dot{\phi}^{2}=-\frac{dU}{dr}+F_{cf}.$$ Llaman $\mu r\dot{\phi}^{2}$ la fuerza ficticia o la fuerza centrífuga. No recuerdo bien los marcos no inerciales, pero suponía que las fuerzas ficticias sólo aparecen en los marcos no inerciales. El marco de referencia en el problema de los dos cuerpos se eligió de tal manera que el Centro de Masa de los dos cuerpos sería el origen por lo que sería un marco inercial, y estoy asumiendo que no hay marcos no inerciales involucrados ya que ningún autor había hablado de ello en los capítulos anteriores.

¿Llamaría $\mu r\dot{\phi}^{2}$ ¿una fuerza centrífuga real sería incorrecta entonces? ¿No es un término que describe la velocidad perpendicular al radio? A partir de este problema de dos cuerpos, parece que si utilizo coordenadas polares al resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange para cualquier otro problema, el término de fuerza centrífuga siempre aparecerá, por lo que sería una consecuencia matemática de la elección del sistema de coordenadas en lugar de ser una fuerza ficticia real. ¿Se llama a ese término fuerza centrífuga porque realmente es una fuerza centrífuga o porque tiene una forma matemática parecida?

Answer 1

Hay dos descripciones equivalentes $^1$ del reducido problema de los dos cuerpos con un potencial central $V(r)$ :

1. En un marco inercial sin fuerzas ficticias: Aquí $\frac{1}{2}\mu r^{2}\dot{\theta}^{2}$ es la parte angular de la energía cinética.

2. En un marco giratorio que sigue a la partícula reducida con fuerzas ficticias y sólo una cinemática radial 1D: Aquí $-\frac{1}{2}\mu r^{2}\dot{\theta}^{2}$ es el potencial centrífugo (¡nótese el signo menos!).

Cada descripción conduce al mismo Lagrangiano

$$L~=~T-U~=~L=\frac{1}{2}\mu(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})-V(r).$$

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$^1$ La partícula reducida está confinada en un plano orbital, por lo que el problema es efectivamente sólo bidimensional descrito por dos coordenadas $r$ y $\theta$ . En ambas descripciones, el centro de masa sirve como origen del marco de referencia. El movimiento del propio centro de masa es trivial, ya que no hay fuerzas externas.

Answer 2

Creo que te has saltado un paso...

Una vez que demuestre que el momento angular $l$ es una constante del movimiento que puede eliminar $\dot{\theta}$ de la ecuación de movimiento bidimensional y llegar a una ecuación en 1 sola variable independiente ( $r$ ): $$\mu \ddot{r} - \frac{l^2}{\mu r^3} = -\frac{dU}{dr}$$ Si lo piensas, este nuevo espacio unidimensional es de hecho un marco no inercial (si fuera inercial la masa caería a $r=0$ ), por lo que no sorprende ver un nuevo término de fuerza además del gradiente de potencial original.

A continuación, Goldstein interpreta el nuevo término como "la consabida fuerza centrífuga" reescribiéndolo: $$\frac{l^2}{\mu r^3} = \mu r \dot{\theta}^2 = \frac{\mu v_\theta^2}{r}$$

Y es cierto: esa nueva fuerza es efectivamente una de las fuerzas no inerciales (la centrífuga) que surgen si se analiza el problema en un marco de rotación con velocidad angular $\omega=\dot{\theta}$ .

A parte : Las otras fuerzas no inerciales en un marco de rotación surgen de cantidades que varían en el tiempo. Se puede demostrar que todo el potencial no inercial es un potencial dependiente de la velocidad análogo al del electromagnetismo: $$U_{rot} = \mu \left\{ \left[ - \frac{\left( \boldsymbol{\omega \times r} \right)^2}{2} \right] - \boldsymbol{ \dot{r} \cdot \left( \boldsymbol{\omega \times r} \right) } \right\}$$

El primer término da la fuerza centrífuga, el segundo las fuerzas de Coriolis y Euler (si $\boldsymbol{\omega}$ no es constante).

Answer 3

"Llaman a r2 la fuerza ficticia o la fuerza centrífuga. No recuerdo bien los marcos no inerciales, pero suponía que las fuerzas ficticias sólo aparecen en los marcos no inerciales."

todas las fuerzas "ficticias" siguen "transfiriendo energía".

También todo lo que es una aceleración en las matemáticas (distancia/tiempo^2) es indicativo de transferencia de energía. Además, si está en un lado de la ecuación, tiene que estar en ambos. Así que si se trata de una masa en movimiento alrededor de un punto, la fuerza centrífuga es real y se expresa en las matemáticas como aceleración o fuerza de alguna manera.

El peso es la energía potencial, la velocidad x la masa es la energía cinética.