Si $(f(z))^2$ e $(f(z))^3$ son de entera funciones ; entonces es $f$ todo?

Question

Deje $f:\mathbb C \to \mathbb C$ ser una función tal que $(f(z))^2$ e $(f(z))^3$ son de entera entonces es $f$ todo ?

Puedo concluir $f$ es todo si se les da $f$ es continuo ; pero sin la continuidad de $f$ , es cierto ?

Answer 1

Deje $g(z) = f(z)^2, h(z) = f(z)^3$, tanto de todo. Si $g(z)$ tiene un cero de orden $k$ a $z= a$ entonces $h(z)$ tiene un cero de orden $3k/2$, lo que significa $k$ es incluso y $\frac{h(z)}{g(z)}$ es holomorphic en $z=a$.

$f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}$ es el cociente de dos funciones, a fin de que se meromorphic, y no tiene polos : es todo.