¿Hay un mapa continuo impar$f:S^{2}\to GL(2,\mathbb{C})$?

Question

Motivados por esta pregunta de MO y como un intento de una posible generalización de los teoremas de tipo Borsuk Ulam, preguntamos:

¿Hay un mapa continuo impar$f:S^{2}\to GL(2,\mathbb{C})$ (o$GL(2n, \mathbb{C})$?

Answer 1

Creo que las siguientes respuestas en la afirmativa.

Vamos a identificar las $S^3$ con la obvia subconjunto de $\Bbb{C}^2$: $$ S^3=\{(z_1,z_2)\mid |z_1|^2+|z_2|^2=1\}. $$ Podemos entonces identificar a $S^3$ con $SU(2)\subset GL_2(\Bbb{C})$ por la incrustación de $$ f:S^3\a SU(2),\ (z_1,z_2)\mapsto \left(\begin{array}{rr}z_1&z_2\\-z_2^*&z_1^*\end{array}\right). $$ La restricción $f$ a su favorito de la copia de $S^2$ dentro $S^3$ a continuación se da una asignación del tipo deseado. El complejo de la conjugación de los viajes con la negación, de modo que la resultante de asignación es impar.