Definición integral de e

Question

Sé que$e$ se puede definir a través de una serie convergente:$$ e = \sum_{n=0}^\infty {1\over n!}$ $

O como límite:$$ e = \lim_{n \to \infty} { \left(1 + {1 \over n}\right)^n }$ $

O como el valor que satisface la condición:

Para cualquier número real$x$,$f(x) = {df\over{dx}}$

¿Hay una definición integral de$e$?

Algo como:$$e = \int_0^\infty ...$ $

Answer 1

$\int_1^x \frac{1}t dt = 1$ así que$e$ es el único$x$.

Answer 2

Creo que vale la pena señalar el vínculo entre los ejemplos que se le ofreció.

Nota: $e^t$ es la solución a la ecuación diferencial $dx/dt = x, x(0) = 1$. Por lo tanto, $x(1) = e$.

Ahora, trata de aproximar la solución a esta ODA utilizando el delantero método de Euler con tamaño de paso de $1/h$ para estimar el $x(1)$. El primer paso rendimientos $x(1/h) \approx x(0) + (1/h)x(0) = (1 + 1/h)x(0) = 1 + 1/h$. El segundo paso rendimientos $x(2/h) \approx x(1/h) + (1/h)(x(1/h) = (1+1/h)x(1/h) = (1+1/h)^2$. Tomando $h$ pasos rendimientos $x(1) \approx (1 + 1/h)^h$. El uso consistente aproximaciones de los resultados, se obtiene que, como el tamaño de paso de $1/h$ va a $0$, $x(1) \rightarrow e$.

Ahora, tenga en cuenta que $\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d}{dt} \left( dx/dt \right) = \frac{d}{dt} x$. (Esto sigue solo mediante la conexión de la igualdad de $dx/dt = x$.) Inducción, tenemos que $\frac{d^nx}{dt^n} = x$ para todos los $n \in \mathbb{N}$, y el convergente suma resultado es simplemente una aplicación directa del teorema de Taylor.

Básicamente, mi punto es que estas definiciones equivalentes no son casualidad, y apuntan a un montón de casitas de resultados.