Signos de los coeficientes del polinomio

Question

A continuación, hay un gráfico de la función: $a(x+d)^2 +b|x+d| +c$ . ¿Qué puedes aprender sobre los coeficientes $a,b,c,d$ ?

Ya sé la respuesta: $a>0, b<0, c>0, d<0$ pero quiero entender por qué es así.

$a>0$ porque (1) es un polinomio de orden par y (2) sus "colas" suben. Por cierto, hay un bonito gráfico que lo resume:

¿Podría ayudarme con la interpretación de otros coeficientes?

Answer 1

Cuando $x$ es grande positivo o negativo, nuestra función es grande positivo. A largo plazo, nuestra función está dominada por el $a(x+d)^2$ término, por lo que $a$ es positivo.

Hay simetría sobre $x=-d$ . Pero hay simetría sobre un positivo $x$ Así que $-d$ es positivo, y por lo tanto $d$ es negativo.

En $x=-d$ Casi todo muere, nos quedamos con $c$ . Pero nuestra curva está por encima de la $x$ -eje en $x=-d$ (la punta afilada), así que $c$ es positivo.

En $x=-d$ la derivada de la $(x+d)^2$ parte es $0$ . Así que la pendiente de la curva cerca de $x=-d$ se debe a la $b|x+d|$ parte. Allí, la curva se parece a $-|x+d|$ . Para ver eso, recuerda lo que $y=|x|$ parece. Así que $b$ es negativo.

Observación: La función es no una función polinómica, ninguna curva $y=P(x)$ donde $P(x)$ es un polinomio tiene una curva aguda (punto de no diferenciabilidad) como nuestra curva.