¿Por qué es el signo de congruencia$A\equiv B\pmod{C}$?

Question

¿Por qué es el signo de congruencia$A\equiv B\pmod{C}$?

¿No sería más natural usar$A \equiv_{C} B$ en su lugar ?

La notación anterior sugiere que tome B y realice alguna operación sobre ella (como en el caso de la división o la multiplicación B / C y B * C), mientras que en realidad toma A y B y establece una relación entre ellos con respecto a C ?

Answer 1

Parece que la anotación fue inventado por Gauss, que dio el siguiente razonamiento para él (copiada de la traducción al inglés se encuentra en este documento¹):

Si un cierto número, que vamos a llamar el módulo, las medidas de la la diferencia de dos números, vamos a llamar a estos números congruentes a la el módulo, si no, incongruente. En el primer caso uno de los dos números se llama el residuo de las otras, en el segundo caso, un nonresidue. E. g. 32 y 11 serán llamados congruente con el módulo 7, debido a que la diferencia de estos números, de 21 años, es divisible por 7.

Denota congruentes números por un signo es muy útil para abreviar cálculos: por lo tanto, debido a la analogía con la igualdad entre los números, vamos a utilizar como un signo, el signo ≡, el módulo puede ser añadido entre paréntesis para evitar la ambigüedad si se considera necesario.

(El énfasis es mío).

Por lo tanto, parece que el original de la razón detrás de esto largas notación era en realidad un ahorro de espacio del dispositivo, ya que puede omitir la mención explícita de que el módulo si está claro lo $\text{mod}$ el que estés trabajando. Esto es a menudo el caso, como se puede ver en muchos trabajaron aritmética modular problemas. Por otra parte, cuando se trabaja de una forma simbólica, donde los resultados son verdaderas, por ejemplo, para cualquier primer módulo, el tener que escribir $\equiv_p$ puede distraer al lector de la prueba en sí.

¹_{"aritmética Modular antes de C. F. Gauss: Systematizations y los debates sobre el resto de problemas en el siglo 18 en Alemania", Martín Bullynck}

Answer 2

La razón principal para la notación es:

Debido a la inercia.

Una anotación, una vez establecida, tiende a permanecer igual. Esta es la notación de Gauss utiliza, por lo que es la notación que sus alumnos utilizan, y sus estudiantes, etc., etc. No todas las notaciones matemáticas están optimizados para mayor claridad. No me refiero a $\sin^n x$, y de cómo eso significa algo diferente si $n=-1$.

Dicho esto, la segunda parte de la respuesta es:

Ambas notaciones son utilizados, y se considera correcta.

Un montón de primaria de la teoría de números libros introducir la notación de subíndice como una alternativa. No se usa muy a menudo. Me parece que lo uso más en mi informales scratchwork, como un compromiso entre la completa, la notación habitual, y simplemente omitiendo el módulo.

Simplemente omitiendo el módulo también está permitida en los casos en que la ambigüedad no de resultado, pero casi nadie lo hace, al menos en el trabajo que van a mostrar a nadie. Por qué? Creo que, en última instancia:

Se ha convertido en parte de la cultura de la teoría de números.

La comprensión y el uso de un poco torpe notación ha convertido en parte de lo que significa llegar a conocer el tema, junto con el abandono de la ciencia de la computación (notación y de la concepción) de "$b \bmod C$" como un operador que toma un entero $b$ y devuelve el menos negativo de residuos modulo $C$. Es esta confusión? Sí, un poco. Es este un lema que establece el número teóricos aparte de los no iniciados? Sí, tipo de. Es útil, cuando la enseñanza de la materia, a veces el uso de la más natural de la notación de subíndice, y directamente a la dirección de la torpeza de los otros? Absolutamente.

Answer 3

Una respuesta subjetiva.

En primer lugar, el cálculo : $a\mod{c}=b$ con un verdadero signo de igualdad, donde $a\in\mathbb Z$ se reduce al resto $b\in\{0,1,...c-1\}$ a través de la división Euclidiana por $c$.

Y luego está la equivalencia $a\equiv b\pmod{c}$ donde $(a,b)\in\mathbb Z^2$ lo que significa que las clases de $\bar a=\bar b$ son iguales en $\mathbb Z/c\mathbb Z$.

Siento que $\equiv_c$ es algún tipo de compromiso entre estos dos, y que uno espera $b$ a la reducción de la representante de la $0\le b\le c-1$ en este caso. Esta es una especie de ir a mitad de camino para el verdadero significado de clases de equivalencia.

Aunque tenga en cuenta que en el encadenamiento de los cálculos, que a menudo se omite el modulo excepto por una vez en la final :

$a\equiv b_1 \equiv b_2\equiv b_3 \pmod{c}$

Answer 4

"Más natural" ? -- depende de la definición de "natural". No hay casi ninguna.

Cuando estaba escribiendo mi primer papeles (yo era un estudiante en el tiempo), Aleksander Pełczyński me dio un buen consejo acerca de la notación: trate de mantener su notación lineal (es decir: evitar inferior y superior de los índices). Un siglo y medio antes de que el tiempo, Carl F. Gauss obedeció a la anotación principio de linealidad.

(Esto no es un final de la historia, pero suficiente para una respuesta)